[vc_row][vc_column][vc_btn title=”od 1\/10\/2022 do 31\/12\/2026″ color=”inverse” size=”lg” link=”url:https%3A%2F%2Fus.edu.pl%2Finstytut%2Fim%2Fbadanie-naukowe%2Fzespoly-badawcze%2F”][vc_btn title=”od 1\/10\/2020 do 30\/09\/2022″ size=”lg” link=”url:https%3A%2F%2Fus.edu.pl%2Finstytut%2Fim%2Fbadanie-naukowe%2Fzespoly-badawcze-20r”][\/vc_column][\/vc_row][vc_row][vc_column][vc_tta_accordion style=”modern” gap=”10″ active_section=”0″ no_fill=”true” collapsible_all=”true”][vc_tta_section title=”Abstrakcyjna i obliczeniowa algebra przemienna” tab_id=”1606245578840-c659b978-8456″][vc_column_text]<\/p>\n
Zasadniczym celem prowadzonych bada\u0144 jest stworzenie kompletnego zestawu narz\u0119dzi obliczeniowych dla algebraicznej teorii form kwadratowych nad cia\u0142ami globalnymi. W tym w szczeg\u00f3lno\u015bci nad cia\u0142ami liczbowymi. Badania te zosta\u0142y zapocz\u0105tkowane w pracy (wsp\u00f3lnej z Alfredem Czogo\u0142\u0105):<\/span><\/p>\n Koprowski, Przemys\u0142aw; Czoga\u0142a, Alfred.<\/span>\u00a0Computing with quadratic forms over number fields<\/a><\/em>.\u00a0J. Symbolic Comput.\u00a089 (2018), 129\u2014145.<\/span><\/span><\/p>\n Od tego czasu by\u0142y kontynuowane zar\u00f3wno samodzielnie jak te\u017c we wsp\u00f3\u0142pracy z Mawunyo Kofi Darkey-Mensah, Victorem Magronem, Beat\u0105 Rothkegel i Tristanem Vacconem. W szczeg\u00f3lno\u015bci przyczyni\u0142y si\u0119 do awansu naukowego M.K. Darkey-Mensah, kt\u00f3ry w listopadzie 2022 obroni\u0142 rozpraw\u0119 doktorsk\u0105 zatytu\u0142owan\u0105\u00a0Algorithms for Quadratic Forms over Global Function Fields, napisan\u0105 pod kierunkiem Przemys\u0142awa Koprowskiego.<\/span><\/p>\n Najwa\u017cniejszym wynikiem dotychczasowych bada\u0144 by\u0142o kompletne, efektywne rozwi\u0105zanie problemu Hilberta dotycz\u0105cego przedstawialno\u015bci totalnie dodatnich liczb algebraicznych jako sum czterech kwadrat\u00f3w. Znanym powszechnie faktem jest, i\u017c ka\u017cda dodatnia liczba ca\u0142kowita jest sum\u0105 czterech kwadrat\u00f3w. M\u00f3wi o tym tzw. twierdzenie Lagrange’a o czterech kwadratach. W 1899 David Hilbert postawi\u0142 hipotez\u0119, i\u017c odpowiednik twierdzenia Lagrange’a jest spe\u0142niony we wszystkich cia\u0142ach liczbowych. Mianowicie, w ka\u017cdym ciele liczbowym, dowolna totalnie dodatnia liczba algebraiczna daje si\u0119 zapisa\u0107 jako suma czterech kwadrat\u00f3w. Dow\u00f3d istnienia takiego przedstawienia zosta\u0142 pokazany w roku 1921 przez Carla Siegela. Wynik Siegela (jak r\u00f3wnie\u017c jego p\u00f3\u017aniejsze uog\u00f3lnienie pochodz\u0105ce od Helmuta Hassego) jest jednak czysto egzystencjalny. Dowodzi istnienia rozwi\u0105zania, nie pozwala jednak na jego wyznaczenie. Do roku 2021 jedynym cia\u0142em liczbowym, dla kt\u00f3rego znana by\u0142a metoda rozwi\u0105zywania problemu czterech kwadrat\u00f3w by\u0142o cia\u0142o liczb wymiernych. W pracy<\/span><\/p>\n Koprowski, Przemys\u0142aw.<\/span>\u00a0Solving sums of squares in global fields<\/a><\/em>.\u00a0ISSAC ’22\u2014Proceedings of the 2022 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 319\u2014324, ACM, New York, 2022<\/span><\/span><\/p>\n pokazana zosta\u0142a metoda rozk\u0142adu dowolnej totalnie dodatniej liczby algebraicznej na sum\u0119 kwadrat\u00f3w o minimalnej d\u0142ugo\u015bci, kt\u00f3ra dzia\u0142a w dowolnym (z niesko\u0144czenie wielu) ciele liczbowym.<\/span><\/p>\n Inne prace napisane w ramach rozwa\u017canej w tematyki bada\u0144:<\/span><\/p>\n Wypracowane dot\u0105d algorytmy zosta\u0142y zaimplementowane w pakiecie\u00a0CQF\u00a0dla systemu Magma, kt\u00f3ry prezentowany by\u0142 na konferencji The International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation 2020 (ISSAC\u201920) i przedstawiony w artykule:<\/span><\/p>\n Koprowski, Przemys\u0142aw.<\/span>\u00a0CQF Magma package<\/a><\/em>.\u00a0ACM Commun. Comput. Algebra\u00a054 (2020), no. 2, 53–56.<\/span><\/span><\/p>\n [\/vc_column_text][\/vc_tta_section][vc_tta_section title=”Asymptotyka p\u00f3\u0142grup Markowa z czasem ci\u0105g\u0142ym” tab_id=”1606248396525-471c34e8-b37d”][vc_column_text]<\/p>\n Badania zespo\u0142u koncentruj\u0105 si\u0119 g\u0142\u00f3wnie na analizie asymptotyki rozmaitych klas kawa\u0142kami deterministycznych proces\u00f3w Markowa z losowo prze\u0142\u0105czanymi potokami, determinuj\u0105cymi kszta\u0142t trajektorii procesu mi\u0119dzy skokami. Te ostatnie nast\u0119puj\u0105 w losowych odst\u0119pach czasu, zwykle o wyk\u0142adniczym (lub podobnym mu) rozk\u0142adzie prawdopodobie\u0144stwa. Badane procesy znajduj\u0105 zastosowanie m.in. w modelowaniu dynamiki pewnych zjawisk biologicznych, jak np. ekspresja genu. Analiza prowadzona jest w j\u0119zyku teorii p\u00f3\u0142grup operator\u00f3w Markowa dzia\u0142aj\u0105cych na miarach borelowskich i wykorzystuje narz\u0119dzia oparte m.in na uog\u00f3lnionych technikach sprz\u0119gania proces\u00f3w Markowa oraz warunkach dryftu w duchu Fostera-Lyapunova.<\/span><\/p>\n Wyniki prowadzonych bada\u0144 dotycz\u0105 przede wszystkim:<\/span><\/p>\n Wartym uwagi jest r\u00f3wnie\u017c fakt, i\u017c wszystkie rezultaty, zar\u00f3wno te ju\u017c opublikowane jak i te stanowi\u0105ce przedmiot obecnej pracy, obowi\u0105zuj\u0105 dla uk\u0142ad\u00f3w dynamicznych ewaluuj\u0105cych na przestrzeniach polskich (niekoniecznie lokalnie zwartych). Dzi\u0119ki temu, uzyskane wyniki mog\u0105 by\u0107 stosowane r\u00f3wnie\u017c w kontek\u015bcie zjawisk wymagaj\u0105cych w swym opisie rozwa\u017cania funkcyjnych przestrzeni fazowych (np. w modelu autoregulacji genu rozpatruje si\u0119 przestrze\u0144 fazow\u0105 z\u0142o\u017con\u0105 z funkcji ci\u0105g\u0142ych okre\u015blaj\u0105cych koncentracj\u0119 zwi\u0105zk\u00f3w chemicznych w poszczeg\u00f3lnych punktach cytoplazmy kom\u00f3rki).<\/span><\/p>\n Zwie\u0144czeniem bada\u0144 prowadzonych w ostatnim czasie s\u0105 wyniki zawarte w nast\u0119puj\u0105cych artyku\u0142ach:<\/span><\/p>\n Obecne prace skupiaj\u0105 si\u0119 g\u0142\u00f3wnie wok\u00f3\u0142 asymptotyki iterowanych uk\u0142ad\u00f3w funkcyjnych ze zmieniaj\u0105cym si\u0119 w czasie uk\u0142adem transformacji. Zwie\u0144czeniem tych bada\u0144 b\u0119dzie publikacja artyku\u0142u:<\/span><\/p>\n D. Czapla, R. Kapica, M. \u015al\u0119czka, On the existence of geometrically attracting measures for random iterated function systems with varying transformations sets.<\/em><\/span><\/p>\n [\/vc_column_text][\/vc_tta_section][vc_tta_section title=”Cia\u0142a z waluacj\u0105 i ich rozszerzenia” tab_id=”1606248393083-572966ce-5385″][vc_column_text]<\/p>\n Przedmiotem bada\u0144 s\u0105 w\u0142asno\u015bci cia\u0142 z waluacj\u0105 o dodatniej charakterystyce cia\u0142 reszt oraz ich rozszerze\u0144. Szczeg\u00f3lna uwaga zwr\u00f3cona jest na opis struktury rozszerze\u0144 z defektem i w\u0142asno\u015bci klasy cia\u0142 g\u0142\u0119boko rozga\u0142\u0119zionych.<\/span><\/p>\n Potrzeba lepszego zrozumienia wspomnianych rozszerze\u0144 zwi\u0105zana jest problemem desyngularyzacji rozmaito\u015bci algebraicznych oraz zagadnieniami teorii modeli cia\u0142 z waluacj\u0105. Uzyskane wyniki maj\u0105 na celu stworzenie narz\u0119dzi do badania rozszerze\u0144 z defektem oraz wyodr\u0119bnienie klas cia\u0142 posiadaj\u0105cych w\u0142asno\u015bci istotne dla wspomnianych problem\u00f3w otwartych.<\/span><\/p>\n G\u0142\u00f3wny kierunek bada\u0144 zwi\u0105zany jest obecnie z opisem w\u0142asno\u015bci klasy cia\u0142 g\u0142\u0119boko rozga\u0142\u0119zionych i jej uog\u00f3lnie\u0144 z punktu widzenia rozszerze\u0144 z defektem, klasyfikacj\u0105 rozszerze\u0144 z defektem\u00a0 oraz charakteryzacj\u0105 cia\u0142 bez defektu w \u00a0mieszanej charakterystyce.<\/span><\/p>\n Najnowsze wyniki bada\u0144 ukaza\u0142y si\u0119 w pracach:<\/span><\/p>\n [\/vc_column_text][\/vc_tta_section][vc_tta_section title=”Deterministyczne i stochastyczne metody badania modeli przyrodniczych” tab_id=”1606248397015-2da0c29a-4c58″][vc_column_text]<\/p>\n\n
\n
Zak\u0142adane efekty bada\u0144<\/span><\/strong><\/span><\/h2>\n
\n
Cz\u0142onkowie<\/span><\/strong><\/span><\/h2>\n
\n
Opis bada\u0144\u00a0<\/strong><\/span><\/h2>\n
\n
\n
\n
Zak\u0142adane efekty bada\u0144<\/strong><\/span><\/h2>\n
\n
Cz\u0142onkowie<\/span><\/strong><\/span><\/h2>\n
\n
Opis bada\u0144<\/span><\/strong><\/span><\/h2>\n
\n
\n
\n
Zak\u0142adane efekty bada\u0144<\/span><\/strong><\/span><\/h2>\n
\n
Cz\u0142onkowie<\/span><\/strong><\/span><\/h2>\n