|tekst: Michalina Pi\u0105tek, studentka kierunku matematyka|
\n|dr Anna Glenszczyk, opiekun|
\n|Praca zosta\u0142a napisana na potrzeby Warsztat\u00f3w z logiki|<\/small><\/p>\nEsej o niesko\u0144czono\u015bci<\/strong><\/span><\/h3>\nW artykule tym Autorka podejmuje pr\u00f3b\u0119 zg\u0142\u0119bienia charakteru niesko\u0144czono\u015bci i zrozumienia, jakie wyzwania stawia przed naszym pojmowaniem rzeczywisto\u015bci. Czy niesko\u0144czono\u015b\u0107 odnosi si\u0119 do naszego \u015bwiata materialnego i metafizycznego? Czy jest to matematyczny koncept? Zapraszamy do refleksji na temat tej tajemniczej idei, kt\u00f3ra wci\u0105\u017c pozostaje jednym z najbardziej enigmatycznych aspekt\u00f3w ludzkiego my\u015blenia.<\/p>\n
Na pocz\u0105tek zadajmy sobie pytanie: co to jest niesko\u0144czono\u015b\u0107?<\/strong> Odpowied\u017a nie jest prosta, bo \u0142atwo ju\u017c na samym starcie si\u0119 zagubi\u0107. Pomimo, i\u017c s\u0142owo to jest bardzo cz\u0119sto u\u017cywane w j\u0119zyku zar\u00f3wno potocznym jak i naukowym, to na og\u00f3\u0142 jest przywo\u0142ywane w wielu rozmaitych kontekstach i bywa rozumiane r\u00f3\u017cnorako. Inaczej niesko\u0144czono\u015b\u0107 rozumiej\u0105 ludzie nauki (filozofowie, matematycy, lingwi\u015bci, teolodzy, kosmolodzy), a zupe\u0142nie inaczej zwykli ludzie w codziennych rozmowach.
\nWed\u0142ug encyklopedii PWN definicja niesko\u0144czono\u015bci brzmi: \u201eniesko\u0144czono\u015b\u0107, poj\u0119cie matematyczne i filozoficzne maj\u0105ce odda\u0107 idee nieosi\u0105galno\u015bci, nieograniczono\u015bci itp., definiowane na r\u00f3\u017cne sposoby.”
\nJak wida\u0107 okre\u015blenie to jest bardzo og\u00f3lne i niewiele nam w zasadzie wyja\u015bnia, a w\u0142a\u015bciwie otwiera pole do dyskusji wskazuj\u0105c mnogo\u015b\u0107 interpretacji.<\/p>\nCzy wszech\u015bwiat jest niesko\u0144czony?<\/strong><\/span><\/p>\nW naszym codziennym \u017cyciu niesko\u0144czono\u015b\u0107 wydaje si\u0119 nieobecna, poniewa\u017c wszystko z czym mamy do czynienia, mo\u017cna policzy\u0107, ponumerowa\u0107 czy te\u017c sklasyfikowa\u0107. Jeste\u015bmy otoczeni ogromn\u0105 ilo\u015bci\u0105 przedmiot\u00f3w, ludzi i zwierz\u0105t, kt\u00f3rych ilo\u015b\u0107 jest sko\u0144czona. Pos\u0142ugujemy si\u0119 j\u0119zykami, kt\u00f3re maj\u0105 konkretn\u0105 ilo\u015b\u0107 s\u0142\u00f3w. U\u017cywamy pisma, kt\u00f3re ma okre\u015blon\u0105 ilo\u015b\u0107 znak\u00f3w. Zdajemy sobie spraw\u0119, \u017ce ka\u017cda droga, \u015bcie\u017cka czy las ma sw\u00f3j kres. Wszystko dooko\u0142a gdzie\u015b si\u0119 zaczyna i ko\u0144czy. Jest namacalne, do\u015bwiadczalne i sko\u0144czone. Dopiero kiedy noc\u0105 spojrzymy w gwiazdy, ogarnia nas uczucie, \u017ce patrzymy na co\u015b, co nie ma ko\u0144ca. Trudno sobie wyobrazi\u0107, \u017ce wszech\u015bwiat mo\u017ce si\u0119 gdzie\u015b sko\u0144czy\u0107. Odnosimy wra\u017cenie, \u017ce tak by\u0142o od zawsze. Tymczasem gdyby\u015bmy si\u0119gn\u0119li do historii nauki i astronomii czeka\u0142aby nas niespodzianka – idea niesko\u0144czonego wszech\u015bwiata jest stosunkowo nowa. Pojawi\u0142a si\u0119 dopiero w XVI wieku, kilkadziesi\u0105t lat po prze\u0142omowej pracy Miko\u0142aja Kopernika z 1543 roku „O obrotach sfer niebieskich”. I chocia\u017c nie wiemy, kto na ni\u0105 „wpad\u0142” jako pierwszy, to ide\u0119 niesko\u0144czonego wszech\u015bwiata mo\u017cna odnale\u017a\u0107 w pracy angielskiego matematyka i astronoma Thomasa Diggesa. By\u0142 on propagatorem teorii wielkiego polskiego astronoma. Przet\u0142umaczy\u0142 kosmologiczn\u0105 cz\u0119\u015b\u0107 dzie\u0142a Kopernika do\u0142\u0105czaj\u0105c do tego tekstu w\u0142asn\u0105 teori\u0119 niesko\u0144czonego wszech\u015bwiata, w kt\u00f3rym nieruchome gwiazdy rozmieszczone s\u0105 w r\u00f3\u017cnych odleg\u0142o\u015bciach od S\u0142o\u0144ca. Wcze\u015bniej wyobra\u017cano sobie wszech\u015bwiat jako uk\u0142ad nak\u0142adaj\u0105cych si\u0119 na siebie sfer, na kt\u00f3rych znajdowa\u0142y si\u0119 Ksi\u0119\u017cyc, S\u0142o\u0144ce i znane w\u00f3wczas planety. Ostatnia za\u015b sfera by\u0142a sfer\u0105 gwiazd sta\u0142ych, za kt\u00f3r\u0105 dla staro\u017cytnych uczonych nie by\u0142o ju\u017c nic, a dla \u015bredniowiecznych teolog\u00f3w le\u017ca\u0142y dodatkowe, niewidoczne dla ludzi \u015bmiertelnych nieba.
\nTakie wyobra\u017cenie niesko\u0144czonego wszech\u015bwiata przedstawi\u0142 Digges. Czy nowoczesna nauka ma co\u015b nowego do powiedzenia w tym temacie? Oczywi\u015bcie tak!<\/p>\n
W 1929 r. ameryka\u0144ski astronom Edwin Hubble obliczy\u0142 zale\u017cno\u015b\u0107 mi\u0119dzy odleg\u0142o\u015bci\u0105 dziel\u0105c\u0105 galaktyki a pr\u0119dko\u015bci\u0105, z jak\u0105 si\u0119 od siebie oddalaj\u0105 i na tej podstawie stwierdzi\u0142, \u017ce wszech\u015bwiat nie jest statyczny i rozszerza si\u0119. Z tego wynika logiczny wniosek: je\u015bli co\u015b si\u0119 rozszerza to znaczy, \u017ce nie jest niesko\u0144czone. Poza tym skoro jeste\u015bmy w stanie oszacowa\u0107 liczb\u0119 atom\u00f3w we wszech\u015bwiecie czy te\u017c ich mas\u0119, to tego z ca\u0142\u0105 pewno\u015bci\u0105 nie byliby\u015bmy w stanie zrobi\u0107 gdyby by\u0142 on niesko\u0144czony.<\/p>\n
Niesko\u0144czono\u015b\u0107 wok\u00f3\u0142 nas<\/strong><\/span><\/p>\nCo w takim razie jest niesko\u0144czone, skoro nawet wszech\u015bwiat nie jest? Tutaj pojawia si\u0119 problem. Wsp\u00f3\u0142cze\u015bni naukowcy nie s\u0105 w stanie wskaza\u0107 w otaczaj\u0105cym nas \u015bwiecie, niczego, co by\u0142oby niesko\u0144czone. Ka\u017cdy realnie istniej\u0105cy obiekt posiada w\u0142asne granice. Wielko\u015bci fizyczne maj\u0105 warto\u015bci minimalne i maksymalne np. temperatura, kt\u00f3ra jest miar\u0105 \u015bredniej energii kinetycznej zwi\u0105zanej z ruchem oraz drganiami cz\u0105steczek tworz\u0105cych dany uk\u0142ad, osi\u0105ga najni\u017csz\u0105 mo\u017cliw\u0105 warto\u015b\u0107, kiedy wszystkie cz\u0105steczki danego uk\u0142adu pozostaj\u0105 w spoczynku (zero stopni Kelvina). Natomiast maksymaln\u0105 warto\u015b\u0107, wedle obecnego stanu wiedzy, osi\u0105gn\u0119\u0142a tu\u017c po Wielkim Wybuchu (1032 stopni Kelvina).
\nPrzez d\u0142ugi czas uwa\u017cano r\u00f3wnie\u017c, \u017ce \u015bwiat\u0142o rozchodzi si\u0119 z niesko\u0144czon\u0105 pr\u0119dko\u015bci\u0105. Trwa\u0142o to do roku 1676, gdy du\u0144ski astronom Ole R\u00f8mer poda\u0142 pierwsze dowody sko\u0144czonej pr\u0119dko\u015bci \u015bwiat\u0142a i czasu jego przelotu przez orbit\u0119 ziemsk\u0105. Obliczenia opar\u0142 na obserwacji za\u0107mie\u0144 satelity Jowisza przez t\u0119 planet\u0119.<\/p>\n
Niesko\u0144czono\u015b\u0107 w \u015bwiecie teoretycznym<\/strong><\/span><\/p>\nNasze poszukiwania niesko\u0144czono\u015bci w realnie istniej\u0105cym \u015bwiecie zako\u0144czy\u0142y si\u0119 niepowodzeniem. Pora wi\u0119c jej poszuka\u0107 w \u015bwiecie teoretycznym stworzonym si\u0142\u0105 ludzkich umys\u0142\u00f3w czyli w matematyce. Oczywi\u015bcie przechodz\u0105c do matematyki pomijamy filozofi\u0119 z ca\u0142\u0105 gam\u0105 r\u00f3\u017cnych znacze\u0144 niesko\u0144czono\u015bci i teologi\u0119, gdzie niesko\u0144czono\u015b\u0107 to termin u\u017cywany do okre\u015blania cech Absolutu (B\u00f3g, wszechwiedza, moc, dobro\u0107, pot\u0119ga itd.). Jak wiadomo w matematyce wszystko co jest prawid\u0142owo zdefiniowane jest prawdziwe. Dlatego poj\u0119cie niesko\u0144czono\u015bci znalaz\u0142o w tej dziedzinie nauki bardzo szerokie zastosowanie i to bez konieczno\u015bci udowadniania jego istnienia w realnym \u015bwiecie.
\nStaro\u017cytni uczeni greccy byli pierwszymi, kt\u00f3rzy uj\u0119li naukowo problem niesko\u0144czono\u015bci. Na og\u00f3\u0142 obawiali si\u0119 oni dopuszczenia niesko\u0144czono\u015bci do ich zasad matematycznych, tak jak unikali wprowadzenia zera, bowiem w ich mniemaniu, zero mog\u0142o by\u0107 uwa\u017cane za co\u015b i w ten spos\u00f3b wnie\u015b\u0107 sprzeczno\u015b\u0107 do systemu ich logiki. Pomimo wi\u0119c tego, \u017ce byli blisko zaakceptowania niesko\u0144czono\u015bci w swoim systemie matematycznym, nigdy nie dokonali ostatecznego kroku, aby j\u0105 tam w\u0142\u0105czy\u0107. Zadowalali si\u0119 rozwa\u017caniem proces\u00f3w, kt\u00f3re nie maj\u0105 ko\u0144ca, lecz pozostawali pod wp\u0142ywam licznych paradoks\u00f3w, kt\u00f3re si\u0119 z tym wi\u0105za\u0142y. Arystoteles by\u0142 pierwszym uczonym, kt\u00f3ry wyr\u00f3\u017cni\u0142 r\u00f3\u017cne rodzaje niesko\u0144czono\u015bci. Podzieli\u0142 j\u0105 na niesko\u0144czono\u015b\u0107 potencjaln\u0105 i niesko\u0144czono\u015b\u0107 aktualn\u0105<\/strong>. Niesko\u0144czono\u015b\u0107 potencjaln\u0105 mo\u017cemy rozumie\u0107 jako mo\u017cliwo\u015b\u0107 utworzenia kolejnej liczby np. dla liczb naturalnych dla ka\u017cdej liczby \u201en” mo\u017cemy utworzy\u0107 liczb\u0119 \u201en+1″. O ile mo\u017cliwo\u015b\u0107 utworzenia kolejnej liczby by\u0142a akceptowana przez wszystkich uczonych jako niesko\u0144czono\u015b\u0107 potencjalna, o tyle ju\u017c mie\u0107 t\u0119 liczb\u0119 okre\u015bla\u0142o niesko\u0144czono\u015b\u0107 aktualn\u0105, czego staro\u017cytni filozofowie i matematycy ju\u017c nie uznawali. Nawet w dzisiejszych czasach wi\u0119kszo\u015b\u0107 bada\u0144 i ankiet wskazuje, \u017ce 50% badanych nie uznaje istnienia niesko\u0144czono\u015bci aktualnej. Co ciekawe nie chodzi tu o dojrza\u0142o\u015b\u0107 intelektualn\u0105, gdy\u017c statystyki pokazuj\u0105, \u017ce pogl\u0105d w tej sprawie nie zmienia si\u0119 wraz z wiekiem badanych. Odrzucenie idei niesko\u0144czono\u015bci aktualnej wi\u0105\u017ce si\u0119 z tym, \u017ce cz\u0119sto zagadnienia z ni\u0105 zwi\u0105zane wydaj\u0105 si\u0119 nam sprzeczne z elementarn\u0105 logik\u0105, czyli tym, co nazywamy \u201eintuicj\u0105”. Wraz z rozwojem matematyki stopniowo powstawa\u0142o coraz wi\u0119cej nowych dzia\u0142\u00f3w zwi\u0105zanych z kontrowersjami wok\u00f3\u0142 niesko\u0144czono\u015bci. Zw\u0142aszcza analiza matematyczna zwi\u0105zana z tajnikami wielko\u015bci niesko\u0144czenie ma\u0142ych, nieprzypadkowo jest nazywana analiz\u0105 niesko\u0144czono\u015bciow\u0105. Jej pocz\u0105tk\u00f3w mo\u017cna doszukiwa\u0107 si\u0119 u Eudoksosa z Knidos tworz\u0105cego w IV w p.n.e., jednak w spos\u00f3b systematyczny zosta\u0142a rozwini\u0119ta w XVII w. przez uczonych tej klasy, co Newton, Leibniz czy Roberval.<\/p>\nGeorg Cantor – pionier matematyki niesko\u0144czono\u015bci<\/strong><\/span><\/p>\nNajwybitniejszym matematykiem kojarzonym z niesko\u0144czono\u015bci\u0105 jest \u017cyj\u0105cy na prze\u0142omie XIX i XX w. niemiecki matematyk, pionier teorii mnogo\u015bci, Georg Cantor. Mo\u017cna stwierdzi\u0107, \u017ce historia niesko\u0144czono\u015bci w matematyce dzieli si\u0119 na t\u0105 przed i po Cantorze. Uporz\u0105dkowa\u0142 on podstawowe definicje z ni\u0105 zwi\u0105zane, wprowadzaj\u0105c mi\u0119dzy innymi poj\u0119cie \u201eliczby kardynalnej<\/strong>” s\u0142u\u017c\u0105cej niejako \u201epoliczeniu” niesko\u0144czono\u015bci.
\nNajwa\u017cniejsze swoje wyniki uzyska\u0142 w 1874 r. Zbiory tej samej mocy, co zbi\u00f3r liczb naturalnych, nazywa\u0142 przeliczalnymi i wsp\u00f3ln\u0105 im wszystkim moc oznacza\u0142 pierwsz\u0105 liter\u0105 hebrajskiego alfabetu ze wsp\u00f3\u0142czynnikiem zero, czyli \u21350 (czytaj: alef zero<\/strong>). W tym\u017ce 1874 r. udowodni\u0142, \u017ce zbi\u00f3r wszystkich liczb rzeczywistych na odcinku [0,1] nie jest przeliczalny. W tym celu zastosowa\u0142 tzw. rozumowanie przek\u0105tniowe, cz\u0119sto p\u00f3\u017aniej w r\u00f3\u017cnych sytuacjach stosowane. Przyj\u0105\u0142, \u017ce wszystkie liczby rzeczywiste odcinka [0,1] daj\u0105 si\u0119 ustawi\u0107 w ci\u0105g, a wi\u0119c mo\u017cna je wypisa\u0107 w postaci tablicy. Moc zbioru liczb rzeczywistych oznaczy\u0142 przez gotyckie c (od s\u0142owa continuum). Swoje zmagania z niesko\u0144czono\u015bci\u0105 zako\u0144czy\u0142 ci\u0119\u017ck\u0105 depresj\u0105. Pod koniec \u017cycia pogr\u0105\u017cy\u0142 si\u0119 w g\u0142\u0119bokim mistycyzmie i rozwijaniu koncepcji Absolutnej Niesko\u0144czono\u015bci, kt\u00f3r\u0105 uto\u017csamia\u0142 z Bogiem.<\/p>\nW tym miejscu wypada chyba zako\u0144czy\u0107 m\u00f3j esej, bowiem dalsze zg\u0142\u0119bianie tego tematu mo\u017ce wywo\u0142a\u0107 odczucia podobne do zawrotu g\u0142owy i doprowadzi\u0107 zamiast do lepszego zrozumienia tematu do wr\u0119cz przeciwnego efektu, czyli do kompletnego pomieszania poj\u0119\u0107. Jak wida\u0107 zagadnienia zwi\u0105zane z niesko\u0144czono\u015bci\u0105 s\u0105 fascynuj\u0105ce i prowadz\u0105 do wniosku, \u017ce na drodze do jej zrozumienia czeka nas jeszcze niejeden zwrot i by\u0107 mo\u017ce jest to podr\u00f3\u017c, kt\u00f3ra nigdy si\u0119 nie zako\u0144czy.<\/p>\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[\/vc_column][\/vc_row]<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
[vc_row css=”.vc_custom_1645781618847{background-color: #ededd5 !important;}”][vc_column width=”2\/3″][\/vc_column][vc_column width=”1\/3″][\/vc_column][\/vc_row][vc_row][vc_column width=”1\/3″ el_class=”foto” css=”.vc_custom_1639391476373{background-color: #ededd5 !important;}”][\/vc_column][vc_column width=”2\/3″][\/vc_column][\/vc_row] […]<\/p>\n
Read More…<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":92,"featured_media":170002,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_expiration-date-status":"","_expiration-date":0,"_expiration-date-type":"","_expiration-date-categories":[],"_expiration-date-options":[]},"categories":[492,592,81,42],"tags":[],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/169988"}],"collection":[{"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/users\/92"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=169988"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/169988\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":170006,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/169988\/revisions\/170006"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/media\/170002"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=169988"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=169988"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=169988"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
![\"\"](\"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-content\/uploads\/sites\/18\/zdjecia-wydarzenia\/pasja\/3.png\")
<\/p>\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[\/vc_column][\/vc_row][vc_row][vc_column width=”1\/3″ el_class=”foto” css=”.vc_custom_1639391476373{background-color: #ededd5 !important;}”]\r\n ![\"twarz](\"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-content\/uploads\/sites\/18\/zdjecia-wydarzenia\/pasja\/Michalina-Piatek.png\")
<\/p>\n