2 wrzesie\u0144<\/span><\/small><\/strong><\/p>\n DZIE\u0143 DU\u017bEGO ROZMIARU<\/span><\/small><\/strong><\/p>\n \n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[vc_single_image image=”16858″ img_size=”full” alignment=”center” style=”vc_box_rounded”][\/vc_column][vc_column width=”3\/4″]\r\n \u201eKartka z kalendarza\u201d<\/a> to cykl artyku\u0142\u00f3w, kt\u00f3re powstawa\u0142y z okazji r\u00f3\u017cnych nietypowych \u015bwi\u0105t. Autorami prezentowanych materia\u0142\u00f3w s\u0105 studenci, doktoranci i pracownicy Wydzia\u0142u Nauk \u015acis\u0142ych i Technicznych Uniwersytetu \u015al\u0105skiego.<\/p>\n Du\u017cy rozMIAR, \u015bredni rozMIAR, ma\u0142y rozMIAR… O miarach ma\u0142ych i du\u017cych opowiada dr Anna Brzeska z Instytutu Matematyki.<\/span><\/p>\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[vc_separator color=”custom” accent_color=”#9b132a”]\r\n Kiedy my\u015blimy o du\u017cych rozmiarach pierwszym skojarzeniem dla wielu z nas b\u0119d\u0105 zakupy w sklepie odzie\u017cowym. Mierzymy przecie\u017c sw\u00f3j obw\u00f3d w talii, wzrost, czy d\u0142ugo\u015b\u0107 r\u0119kawa. Wielko\u015bci te bywaj\u0105 wi\u0119ksze lub mniejsze. Im kto\u015b ma wi\u0119cej wi\u0119kszych wymiar\u00f3w tym wi\u0119kszego rozmiaru poszukuje dla siebie. Przynajmniej w teorii. Rozmiar zakupionego ubrania niekoniecznie bowiem odpowiada w\u0142a\u015bciwym wymiarom i wadze cz\u0142owieka. S\u0105 przecie\u017c w\u015br\u00f3d nas mi\u0142o\u015bnicy przyciasnych jeans\u00f3w lub za du\u017cych o kilka rozmiar\u00f3w swetr\u00f3w.<\/p>\n \n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[\/vc_column][\/vc_row][vc_row css=”.vc_custom_1629883969954{margin-bottom: 0px !important;border-bottom-width: 0px !important;padding-bottom: 0px !important;}” el_class=”shadow”][vc_column width=”1\/3″ el_class=”foto”][vc_column_text el_class=”foto” css=”.vc_custom_1630490979816{padding-right: 20px !important;padding-left: 20px !important;}”] dr Anna Brzeska Instytut Matematyki<\/p>\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[\/vc_column][vc_column width=”2\/3″]\r\n Kiedy my\u015blimy o du\u017cych rozmiarach pierwszym skojarzeniem dla wielu z nas b\u0119d\u0105 zakupy w sklepie odzie\u017cowym. Mierzymy przecie\u017c sw\u00f3j obw\u00f3d w talii, wzrost, czy d\u0142ugo\u015b\u0107 r\u0119kawa. Wielko\u015bci te bywaj\u0105 wi\u0119ksze lub mniejsze. Im kto\u015b ma wi\u0119cej wi\u0119kszych wymiar\u00f3w tym wi\u0119kszego rozmiaru poszukuje dla siebie. Przynajmniej w teorii. Rozmiar zakupionego ubrania niekoniecznie bowiem odpowiada w\u0142a\u015bciwym wymiarom i wadze cz\u0142owieka. S\u0105 przecie\u017c w\u015br\u00f3d nas mi\u0142o\u015bnicy przyciasnych jeans\u00f3w lub za du\u017cych o kilka rozmiar\u00f3w swetr\u00f3w.<\/p>\n Jak maj\u0105 si\u0119 kwestie odzie\u017cowe do matematyki? Okazuje si\u0119, \u017ce matematyka ma swoj\u0105 w\u0142asn\u0105 mod\u0119. Kiedy zamierzamy uszy\u0107 sobie spodnie u krawca, ten najpierw zdejmuje z nas miar\u0119. W matematyce poj\u0119cie miary to pewna funkcja rzeczywista zadana na specyficznej rodzinie zbior\u00f3w okre\u015blanej mianem „sigma-cia\u0142a”. Ta specyficzna rodzina, m\u00f3wi\u0105c najpro\u015bciej, sk\u0142ada si\u0119 ze wszystkich zbior\u00f3w, kt\u00f3re dan\u0105 miar\u0105 mo\u017cemy zmierzy\u0107.<\/p>\n Maj\u0105c na uwadze, \u017ce matematyczna miara to uog\u00f3lnienie spojrzenia na miary klasyczne jak d\u0142ugo\u015b\u0107, pole, czy obj\u0119to\u015b\u0107, mo\u017cna by\u0142oby powiedzie\u0107, \u017ce miar\u0105 zbioru punkt\u00f3w odcinka jest jego d\u0142ugo\u015b\u0107, a miar\u0105 zbioru punkt\u00f3w kwadratu jego pole. S\u0105 jednak w matematyce miary mniej oczywiste.<\/p>\n Jedn\u0105 z bardziej popularnych w matematyce miar jest tak zwana miara probabilistyczna. Miara probabilistyczna to inaczej prawdopodobie\u0144stwo, z kt\u00f3rym spotykamy si\u0119 ju\u017c w szkole \u015bredniej, kiedy wyznaczmy szanse trafienia sz\u00f3stki w rzucie kostk\u0105. Miar\u0119 probabilistyczn\u0105 cechuje ograniczenie jej warto\u015bci do jedynki. Miar\u0119 „1” przyjmuj\u0105 zdarzenia pewne, a miar\u0119 „0” zdarzenia niemo\u017cliwe.<\/p>\n Inn\u0105 do\u015b\u0107 pospolit\u0105 w matematyce miar\u0105 jest tak zwana miara licz\u0105ca. Przypisuje ona zbiorom liczb\u0119 ich element\u00f3w, czyli konkretn\u0105 liczb\u0119 naturaln\u0105 w przypadku zbior\u00f3w sko\u0144czonych oraz tak zwan\u0105 niesko\u0144czono\u015b\u0107 – oznaczan\u0105 symbolem przypominaj\u0105cym przewr\u00f3con\u0105 \u00f3semk\u0119 \u2013 w przypadku zbior\u00f3w niesko\u0144czonych. Dla przyk\u0142adu rozmiarem 10-elementowego zbioru kolor\u00f3w jest tutaj liczba 10, ale rozmiarem zbioru wszystkich podzbior\u00f3w tego zbioru (czyli wszystkich kolor\u00f3w, kt\u00f3re mo\u017cemy uzyska\u0107 mieszaj\u0105c lub nie dowoln\u0105 liczb\u0119 kolor\u00f3w wyj\u015bciowych), kt\u00f3ry tak\u017ce jest zbiorem sko\u0144czonym, jest ju\u017c liczba 1024. Dzieje si\u0119 tak dlatego, \u017ce wszystkich podzbior\u00f3w danego zbioru sko\u0144czonego jest dok\u0142adne tyle co ci\u0105g\u00f3w zero-jedynkowych tej samej d\u0142ugo\u015bci. 1024 to liczba 10-elementowych ci\u0105g\u00f3w zero-jedynkowych. Widzimy wi\u0119c, \u017ce ze stosunkowo niedu\u017cego zbioru element\u00f3w powsta\u0142 zbi\u00f3r o ca\u0142kiem poka\u017anej mierze \u2013 teraz do wyboru jest ju\u017c 1023 kolor\u00f3w (jednym z podzbior\u00f3w zbioru 10-elementowego jest zbi\u00f3r pusty). Mogliby\u015bmy wi\u0119c \u017cartobliwie powiedzie\u0107, \u017ce zbi\u00f3r sko\u0144czony w tej mierze mo\u017ce nam szybko przyty\u0107.<\/p>\n Do\u015b\u0107 zaskakuj\u0105ce mo\u017ce si\u0119 dla niekt\u00f3rych okaza\u0107 stwierdzenie, \u017ce nie ka\u017cdy zbi\u00f3r mo\u017cna w matematyce zmierzy\u0107 ka\u017cd\u0105 miar\u0105. Twierdzenie Banacha-Tarskiego daje nam ku temu argumenty, gdy\u017c m\u00f3wi w skr\u00f3cie o tym, \u017ce z odcinka od 0 do 1 mo\u017cna zrobi\u0107 odcinek od 0 do 2 przesuwaj\u0105c odpowiednio jego roz\u0142\u0105czne fragmenty tworz\u0105ce pewien jego podzia\u0142. Poniewa\u017c przy wymogach jakie ci\u0105\u017c\u0105 na matematycznych miarach (sumowanie si\u0119 miar roz\u0142\u0105cznych cz\u0119\u015bci do miary ca\u0142o\u015bci powsta\u0142ej po ich po\u0142\u0105czeniu) takie rozci\u0105gni\u0119cie d\u0142ugo\u015bci jest niemo\u017cliwe, a wi\u0119c przynajmniej jeden z element\u00f3w wyj\u015bciowego podzia\u0142u odcinka musi by\u0107 niemierzalny.<\/p>\n Jeszcze inn\u0105 zaskakuj\u0105c\u0105 rzecz\u0105 jest fakt, \u017ce miara matematyczna mo\u017ce mie\u0107 w\u0142a\u015bciwo\u015bci \u201esilnie odchudzaj\u0105ce”. Aby pokaza\u0107 takie dzia\u0142anie matematycznej miary przyjrzyjmy si\u0119 konstrukcji znanego tr\u00f3jkowego zbioru Cantora. Zaczyna si\u0119 ona od odcinka, z kt\u00f3rego po podziale na trzy r\u00f3wne cz\u0119\u015bci najpierw wycinamy cz\u0119\u015b\u0107 \u015brodkow\u0105. Nast\u0119pnie z dw\u00f3ch skrajnych pozosta\u0142ych cz\u0119\u015bci podzielonych na trzy r\u00f3wne kawa\u0142ki tak\u017ce odrzucamy cz\u0119\u015bci \u015brodkowe otrzymuj\u0105c ju\u017c cztery jednakowej d\u0142ugo\u015bci odcinki. W ka\u017cdym z nich powtarzamy procedur\u0119 podzia\u0142u na trzy sk\u0142adowe i odrzucenia sk\u0142adowej \u015brodkowej otrzymuj\u0105c ju\u017c odcink\u00f3w osiem. I tak w niesko\u0144czono\u015b\u0107.<\/p>\n <\/p>\n![\"da](\"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-content\/uploads\/sites\/18\/OSOBY\/AnnaBrzeska.jpg\")
\nfot. archiwum prywatne<\/em>[\/vc_column_text]\r\n
\n<\/strong><\/small><\/span><\/p>\n
\n