{"id":173213,"date":"2024-02-16T15:07:59","date_gmt":"2024-02-16T14:07:59","guid":{"rendered":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/?p=173213"},"modified":"2024-02-19T10:07:16","modified_gmt":"2024-02-19T09:07:16","slug":"marcin-aleksa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/2024\/02\/16\/marcin-aleksa\/","title":{"rendered":"Nauka moja pasja | Marcin Aleksa"},"content":{"rendered":"

[vc_row css=”.vc_custom_1645781618847{background-color: #ededd5 !important;}”][vc_column width=”2\/3″]\r\n

\r\n
\r\n \r\n
<\/p>\n

\u201eSk\u0105d si\u0119 bior\u0105 liczby?”<\/span><\/h3>\n

Oto przedstawiamy kr\u00f3tk\u0105 histori\u0119 historii liczb…<\/span><\/p>\n

NAUKA | MOJA PASJA<\/span>
\n<\/strong><\/span><\/small><\/p>\n

\n

Nauka \u2013 wed\u0142ug definicji ze S\u0142ownika J\u0119zyka Polskiego to og\u00f3\u0142 wiedzy ludzkiej u\u0142o\u017conej w system zagadnie\u0144, ale tak\u017ce zesp\u00f3\u0142 pogl\u0105d\u00f3w stanowi\u0105cych usystematyzowan\u0105 ca\u0142o\u015b\u0107 i wchodz\u0105cych w sk\u0142ad okre\u015blonej dyscypliny badawczej.
\n<\/span>Nauka to tak\u017ce czynno\u015b\u0107: uczenie si\u0119 czego\u015b lub uczenie kogo\u015b.
\n<\/span>Zapraszamy do lektury cyklu Nauka | Moja Pasja, w kt\u00f3rym nasi m\u0142odzi badacze prezentuj\u0105, nad czym pracuj\u0105 oraz pokazuj\u0105, \u017ce nauka i proces badawczy mog\u0105 wci\u0105gn\u0105\u0107 na dobre. <\/span><\/p>\n

\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[\/vc_column][vc_column width=”1\/3″]\r\n

\r\n
\r\n \r\n

\"\"<\/p>\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[\/vc_column][\/vc_row][vc_row][vc_column width=”1\/6″ css=”.vc_custom_1708092680566{background-color: #ededd5 !important;}”]\r\n

\r\n
\r\n \r\n

\"\"<\/p>\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>\r\n

\r\n
\r\n \r\n

Matematyka – kierunek studi\u00f3w<\/a><\/small><\/p>\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[\/vc_column][vc_column width=”5\/6″]\r\n

\r\n
\r\n \r\n

|tekst: Marcin Aleksa, student kierunku matematyka|
\n|dr Anna Glenszczyk, opiekun|
\n|Praca zosta\u0142a napisana na potrzeby Warsztat\u00f3w z logiki|<\/small><\/p>\n

Sk\u0105d si\u0119 bior\u0105 liczby? – kr\u00f3tka historia o historii liczb<\/strong><\/span><\/h3>\n

Liczba nie ma definicji szczerze\u2026<\/strong><\/span><\/p>\n

Liczby wydaj\u0105 si\u0119 poj\u0119ciem stricte abstrakcyjnym. Samo ich zdefiniowanie stanowi problem, nie istnieje bowiem sensowna odpowied\u017a na pytanie: Czym jest liczba? Samo s\u0142owo w sobie nie daje nam \u017cadnej informacji o tym abstrakcyjnym obiekcie, kt\u00f3ry rozpatrujemy. Jednak potrafimy \u201ewskaza\u0107\u201d liczby w codziennym \u017cyciu.<\/p>\n

Liczb\u0119 zakupionych bu\u0142ek w Biedronce (lub Lidlu, jak kto woli) mo\u017cemy scharakteryzowa\u0107 przez konkretn\u0105 liczb\u0119 naturaln\u0105, liczb\u0119 zdobytych punkt\u00f3w na te\u015bcie, maturze,\u00a0 egzaminie przez liczb\u0119 wymiern\u0105 (by\u0107 mo\u017ce nawet niewymiern\u0105, je\u015bli kto\u015b bardzo si\u0119 postara\u0142). Zauwa\u017cmy, \u017ce jednak \u017cadna z tych liczb nie jest liczb\u0105 per se. Ka\u017cda z nich jest okre\u015blona \u2013 albo naturalna, albo wymierna, albo niewymierna. Tak wi\u0119c jasno wida\u0107, \u017ce liczba musi by\u0107 jaka\u015b. Co mia\u0142oby sens, bo pr\u00f3buj\u0105c zdefiniowa\u0107 liczb\u0119 jako element nale\u017c\u0105cy do zbioru wszystkich liczb\u00a0 doszliby\u015bmy pokraczn\u0105 drog\u0105 (prawdopodobnie w metryce-rzece) do antynomii\u00a0\u00a0 Russella.<\/p>\n

Od teraz postaram si\u0119 (w miar\u0119 moich, jakby to Paul Erd\u0151s zapewne nazwa\u0142, epsilonowych mo\u017cliwo\u015bci) opisywa\u0107 liczby fachowo, to znaczy jako obiekty spe\u0142niaj\u0105ce ustalone aksjomaty i dzia\u0142ania.<\/p>\n

Kt\u00f3re liczby by\u0142y pierwsze?<\/strong><\/span><\/p>\n

W pytaniu chodzi oczywi\u015bcie o te, kt\u00f3re pojawi\u0142y si\u0119 najwcze\u015bniej. Liczby pierwsze raczej nie by\u0142y pierwszymi, jakie ludzko\u015b\u0107 odkry\u0142a. Naturalnie (gra s\u0142owna niecelowa) mo\u017cemy za\u0142o\u017cy\u0107, \u017ce podstawowymi liczbami, kt\u00f3rymi si\u0119 zajmujemy b\u0119d\u0105 liczby naturalne. W ko\u0144cu towarzysz\u0105 nam od zawsze. Prehistoryczni ludzie nacinali ko\u015bci, takie jak ko\u015b\u0107 z Ishago, kt\u00f3rych naci\u0119cia mia\u0142y co\u015b symbolizowa\u0107. Niestety nie wiemy co, ale z pewno\u015bci\u0105 co\u015b policzalnego. Co ciekawe, w przypadku ko\u015bci z Ishago naci\u0119cia pokrywaj\u0105 z liczbami pierwszymi pomi\u0119dzy 10 i 20.<\/p>\n

Kto\u015b powie \u201eNo dobra, ale sk\u0105d si\u0119 te liczby naturalne wzi\u0119\u0142y?\u201d. Trywialn\u0105 i ma\u0142o \u015bmieszn\u0105 odpowiedzi\u0105 by\u0142oby \u201ebocian je przyni\u00f3s\u0142\u201d. Je\u015bli jednak przyjmiemy za bociana liczb\u0119 0 (lub zbi\u00f3r pusty) to uniwersalnej, aksjomatycznej konstrukcji liczb naturalnych dostarcza definicja zaproponowana przez Giuseppe\u2019a Peana. Warunki te musz\u0105 by\u0107 spe\u0142niony przez ka\u017cd\u0105 konstrukcj\u0119 liczb naturalnych.<\/p>\n

Zaczynaj\u0105c od 0 i definiuj\u0105c nast\u0119pnik liczby naturalnej jeste\u015bmy w stanie skonstruowa\u0107 zbi\u00f3r liczb naturalnych. Liczbie 0 wystarczy \u201enaturalno\u015b\u0107 z definicji\u201d (tzn. przyjmujemy z definicji, \u017ce 0 jest liczb\u0105 naturaln\u0105). Nast\u0119pnik (cz\u0119sto oznaczany jako S(a)) potrzebuje nieco wi\u0119cej warunk\u00f3w. Najwa\u017cniejsze z nich to:<\/p>\n

    \n
  1. dla ka\u017cdej liczby naturalnej a istnieje jej nast\u0119pnik, S(a)<\/li>\n
  2. 0 nie jest nast\u0119pnikiem \u017cadnej liczby naturalnej<\/li>\n
  3. je\u015bli nast\u0119pniki dw\u00f3ch liczb naturalnych s\u0105 takie same, tzn. S(a) = S(b) to te liczby s\u0105 sobie r\u00f3wne a = b<\/li>\n<\/ol>\n

    Warty przytoczenia jest model von Neumanna. W tym przypadku z liczbami naturalnymi uto\u017csamiamy zbiory sko\u0144czone. 0 b\u0119dzie odpowiada\u0142o \u00d8. Jak definiowany jest nast\u0119pnik S(a)? Jako suma zbioru a z singletonem {a} (czyli zbiorem jednoelementowym, zawieraj\u0105cym jedynie a):<\/p>\n

    S(a) = a \ud835\uddb4 {a}. Nie jest ci\u0119\u017cko zauwa\u017cy\u0107, \u017ce teraz:<\/p>\n

    0 = \u00d8, 1 = {\u00d8}, 2 = {\u00d8, {\u00d8}}, 3 = {\u00d8, {\u00d8}, {\u00d8, {\u00d8}}} i tak dalej.<\/p>\n

    Model ten r\u00f3wnie\u017c w pi\u0119kny spos\u00f3b pokazuje wprost indukcj\u0119 matematyczn\u0105.<\/p>\n

    Liczby nienaturalne<\/span><\/strong><\/p>\n

    No i super. Jeden zbi\u00f3r liczb z g\u0142owy. Wiemy ju\u017c sk\u0105d si\u0119 bior\u0105, bardzo m\u0105drzy panowie Peano i von Neumann znale\u017ali na to spos\u00f3b. A co po liczbach naturalnych? Wracaj\u0105c do czas\u00f3w Staro\u017cytnej Grecji mo\u017cemy znale\u017a\u0107 liczby wymierne, skonstruowane jako stosunki d\u0142ugo\u015bci bok\u00f3w. Nieco p\u00f3\u017aniej wymy\u015blono dok\u0142adn\u0105 definicj\u0119 liczb wymiernych. U\u0142amkom p\/q oraz r\/s odpowiada relacja r\u00f3wnowa\u017cno\u015bci ~ okre\u015blona jako:<\/p>\n

    (\ud835\udc5d, \ud835\udc5f) ~ (\ud835\udc5e, \ud835\udc60) \u2194 \ud835\udc5d \u2219 \ud835\udc60 = \ud835\udc5f \u2219 \ud835\udc5e<\/p>\n

    Tylko pytanie czym s\u0105 p, r, q i s? Znaj\u0105c okre\u015blenia z algebry nazwiemy je elementami cia\u0142a. Jeste\u015bmy jednak na Warsztatach z logiki i korzystamy z definicji relacji, wi\u0119c logiczne jest, \u017ce pary (p, r) i (q, s) s\u0105 elementami ilorazu kartezja\u0144skiego dw\u00f3ch zbior\u00f3w. Pytanie narasta jakich?<\/p>\n

    Nie mo\u017cemy zapomnie\u0107 o liczbach ca\u0142kowitych, kt\u00f3re r\u00f3wnie\u017c \u201ewywodz\u0105 si\u0119\u201d od liczb naturalnych. Liczby ca\u0142kowite jeste\u015bmy w stanie r\u00f3wnie\u017c algebraicznie zdefiniowa\u0107 poprzez bycie elementami przeciwnymi do liczb naturalnych. Jednak\u017ce ekstrapoluj\u0105c aksjomatyk\u0119 Peana w drug\u0105 stron\u0119 i definiuj\u0105c opr\u00f3cz nast\u0119pnik\u00f3w poprzedniki uzyskamy zbi\u00f3r liczb ca\u0142kowitych.<\/p>\n

    Unikaj\u0105c wojny \u201eco by\u0142o pierwsze, liczby ca\u0142kowite czy liczby wymierne?\u201d uznajmy, \u017ce elementy p, r, q, s nale\u017c\u0105 do liczb ca\u0142kowitych. Przy oczywistym za\u0142o\u017ceniu, \u017ce r i q s\u0105 r\u00f3\u017cne od 0. Przecie\u017c od przedszkola jest nam wpajane, \u017ce nie mo\u017cemy dzieli\u0107 przez 0. Relacja ~ jest wtedy opisana na iloczynie kartezja\u0144skim dw\u00f3ch iloczyn\u00f3w kartezja\u0144skich zbior\u00f3w liczb ca\u0142kowitych, przy czym ten wt\u00f3rny jest bez 0.<\/p>\n

    ~ \u2282 (\u2124\u00d7 \u2124\\{0})\u00d7(\u2124\u00d7 \u2124\\{0})<\/p>\n

    I co dalej?<\/span><\/strong><\/p>\n

    Przecie\u017c ju\u017c wiemy, \u017ce liczby nie ko\u0144cz\u0105 si\u0119 na liczbach wymiernych (dodatnich lub nie). Zosta\u0142y nam do scharakteryzowania jeszcze liczby algebraiczne, rzeczywiste, przest\u0119pne, zespolone. W sumie mo\u017ce niech liczby rzeczywiste dodatnie to b\u0119d\u0105 wszelkie mo\u017cliwe d\u0142ugo\u015bci. A ujemne rzeczywiste niech b\u0119d\u0105 liczbami przeciwnymi do tamtych. I jeszcze jednostka urojona, no to narysujmy sobie p\u0142aszczyzn\u0119 zespolon\u0105 i mamy nawet dosy\u0107 \u0142adnie widoczny zbi\u00f3r wszystkich liczb zespolonych. Ka\u017cdy punkt na ten p\u0142aszczy\u017anie odpowiada jakiej\u015b liczbie zespolonej, konkretnie jednej. No i to chyba tyle. Tak? Czyli koniec eseju?<\/p>\n

    A nie chwila. Przecie\u017c\u00a0 s\u0105 jeszcze jakie\u015b te dziwne hebrajskie liczby. Jak on mia\u0142, alef zero? To takie \u015bmieszne N\u2026 O, dobra mam, skopiowa\u0142em z tablicy znak\u00f3w – \u21350<\/sub>. Ok, ale gdzie go tu wcisn\u0105\u0107? Aha, to s\u0105 jakie\u015b tam liczby kardynalne. Czyli liczby, ale gdzie tu na t\u0105 p\u0142aszczyzn\u0119 zespolon\u0105 je wcisn\u0105\u0107? No niestety nie da si\u0119. Ale przecie\u017c to nadal liczby. Maj\u0105 swoje zastosowanie. Te\u017c da si\u0119 je skonstruowa\u0107 i opisuj\u0105 konkretne obiekty matematyczne, zbiory. Co warto nadmieni\u0107, w tym przypadku rozpatrujemy ju\u017c klasy liczb. Ma to sens, bo zaczynamy m\u00f3wi\u0107 o zbiorach liczb opartych na co raz to wi\u0119kszych zbiorach. A antynomii Russella i jej konsekwencji nie trzeba nikomu przedstawia\u0107 (jest to oczywiste zagadnienie dla ka\u017cdego, kt\u00f3ry spotka\u0142 si\u0119 z poj\u0119ciem mocy zbioru; wyt\u0142umaczy\u0142bym to w zadziwiaj\u0105cy, prosty spos\u00f3b, niestety, margines jest zbyt ma\u0142y, by go pomie\u015bci\u0107).<\/p>\n

    Tych liczb jak si\u0119 okazuje jest troch\u0119 wi\u0119cej ni\u017c si\u0119 wydaje. Na Wikipedii (kt\u00f3r\u0105 w granicach rozs\u0105dnej inspiracji si\u0119 inspiruj\u0119) jest nawet bardzo \u0142adny plik .png obrazuj\u0105cy te \u201enajwa\u017cniejsze\u201d zbiory liczbowe. A raczej po prostu te najcz\u0119\u015bciej rozwa\u017cane. Nad liczbami kardynalnymi s\u0105 jeszcze liczby porz\u0105dkowe. A kategori\u0119 wy\u017cej ich nadklas\u0105 s\u0105 jeszcze liczby hiperrzeczywiste. Ale id\u0105c w innym kierunku, ale r\u00f3wnie\u017c od naturalnych dochodzimy do rzeczywistych, zespolonych, kwaternion\u00f3w i innych liczb hiperzespolonych.<\/p>\n

    Poni\u017cej za\u0142\u0105czam opisan\u0105 wcze\u015bniej grafik\u0119, kt\u00f3r\u0105 prawdopodobnie ka\u017cdy znudzony student przegl\u0105daj\u0105cy Wikipedi\u0119 wcze\u015bniej widzia\u0142. A przynajmniej ci studenci, kt\u00f3rzy wybrali ten sam temat co ja. Temat \u201eSk\u0105d si\u0119 bior\u0105 liczby?\u201d. Po tym d\u0142ugim wywodzie chyba przysz\u0142a pora. Pytanie, i odpowied\u017a na nie, od kt\u00f3rych zale\u017cy sens pisania tego felietonu przez ostatnie 65 minut.<\/p>\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>\r\n

    \r\n
    \r\n \r\n
    <\/p>\n

    \"\"
    \nRys. 1: Diagram Hassego przedstawiaj\u0105cy zbiory i klasy liczbowe oraz relacje zawierania mi\u0119dzy nimi.
    \n\u0179r\u00f3d\u0142o: https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Liczba<\/a><\/small><\/p>\n

    Sk\u0105d si\u0119 bior\u0105 liczby?<\/strong><\/span><\/p>\n

    Po dog\u0142\u0119bnych kilku godzinach researchu i kolejnych kilku pisania dochodzimy do fundamentalnych konkluzji. Parafrazuj\u0105c Voltaire\u2019a mo\u017cna stwierdzi\u0107, \u017ce:\u00a0Gdyby nie by\u0142oby liczby, koniecznym by\u0142oby j\u0105 wymy\u015ble\u0107<\/em>…<\/p>\n

    Kt\u00f3rej liczby? Tej potrzebnej akurat nam w danym momencie. Je\u015bli konstrukcja oka\u017ce si\u0119 prawid\u0142owa, z aksjomat\u00f3w nie wyjdzie sprzeczno\u015b\u0107 to nic nie stoi na przeszkodzie, by ten nowo powsta\u0142y\/odkryty (czy powsta\u0142y czy odkryty to ju\u017c temat na kolejny esej; temat, kt\u00f3ry prawdopodobnie bym wzi\u0105\u0142, gdyby trzy inne osoby mnie nie uprzedzi\u0142y) zbi\u00f3r lub klas\u0119 okre\u015bli\u0107 liczbami np. aleksowymi.<\/p>\n

    Ale co mo\u017cemy powiedzie\u0107 o tych liczbach, kt\u00f3re ju\u017c \u201emamy\u201d? Sk\u0105d si\u0119 wzi\u0119\u0142y? Zauwa\u017cmy, \u017ce wszelkie liczby w pewnym sensie pochodz\u0105 od zbioru liczb naturalnych, s\u0105 jego przed\u0142u\u017ceniem, lub wykluczeniem z jakiego\u015b zbioru, r\u00f3wnie\u017c skonstruowanego z liczb naturalnych. Tak jak liczby przest\u0119pne to tak naprawd\u0119 liczby rzeczywiste (skonstruowane z liczb naturalnych), kt\u00f3re nie s\u0105 liczbami algebraicznymi (kt\u00f3re zosta\u0142y r\u00f3wnie\u017c skonstruowane z liczb naturalnych).<\/p>\n

    Powiedzmy, \u017ce wszystkie inne liczby wzi\u0119\u0142y si\u0119 od liczb naturalnych.<\/p>\n

    Ale wracaj\u0105c, sk\u0105d si\u0119 wzi\u0119\u0142y liczby naturalne? Ich konstrukcja tak naprawd\u0119 zacz\u0119\u0142a si\u0119 od 0 (lub \u00d8). Zero, zbi\u00f3r pusty, nic. Ko\u0144cz\u0105c poetycko esej, wychodzi na to, \u017ce paradoksalnie\u2026 liczby wzi\u0119\u0142y si\u0119 z niczego<\/strong><\/span>.<\/p>\n

    Dzi\u0119kuj\u0119 za uwag\u0119 i przeczytanie do ko\u0144ca kr\u00f3tkiej historii o historii liczb<\/em> \ud83d\ude0a<\/p>\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[\/vc_column][\/vc_row]<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    [vc_row css=”.vc_custom_1645781618847{background-color: #ededd5 !important;}”][vc_column width=”2\/3″][\/vc_column][vc_column width=”1\/3″][\/vc_column][\/vc_row][vc_row][vc_column width=”1\/6″ css=”.vc_custom_1708092680566{background-color: #ededd5 !important;}”][\/vc_column][vc_column width=”5\/6″][\/vc_column][\/vc_row] […]<\/p>\n

    Read More…<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":92,"featured_media":173217,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_expiration-date-status":"","_expiration-date":0,"_expiration-date-type":"","_expiration-date-categories":[],"_expiration-date-options":[]},"categories":[492,321,592,42],"tags":[96,74,633],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/173213"}],"collection":[{"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/users\/92"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=173213"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/173213\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":173237,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/173213\/revisions\/173237"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/media\/173217"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=173213"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=173213"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=173213"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}