{"id":26964,"date":"2022-04-18T18:26:20","date_gmt":"2022-04-18T16:26:20","guid":{"rendered":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/?p=26964"},"modified":"2022-04-18T19:13:01","modified_gmt":"2022-04-18T17:13:01","slug":"dzien-kostki-rubika","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/2022\/04\/18\/dzien-kostki-rubika\/","title":{"rendered":"\u015awiatowy Dzie\u0144 Kostki Rubika | dr hab. Przemys\u0142aw Koprowski, prof. U\u015a"},"content":{"rendered":"

[vc_row css=”.vc_custom_1626772894639{margin-bottom: 0px !important;border-bottom-width: 0px !important;padding-bottom: 0px !important;}”][vc_column width=”1\/4″]\r\n

\r\n
\r\n \r\n
<\/p>\n

17 kwietnia<\/span><\/small><\/strong><\/p>\n

\u015awiatowy DZIE\u0143 kostki rubika<\/span><\/small><\/strong><\/p>\n

\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[vc_single_image image=”16858″ img_size=”full” alignment=”center” style=”vc_box_rounded”][\/vc_column][vc_column width=”3\/4″]\r\n

\r\n
\r\n \r\n

\u201eKartka z kalendarza\u201d<\/a> to cykl artyku\u0142\u00f3w, kt\u00f3re powstawa\u0142y z okazji r\u00f3\u017cnych nietypowych \u015bwi\u0105t. Autorami prezentowanych materia\u0142\u00f3w s\u0105 studenci, doktoranci i pracownicy Wydzia\u0142u Nauk \u015acis\u0142ych i Technicznych U\u015a.<\/p>\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[vc_separator color=”custom” accent_color=”#9b132a”]\r\n

\r\n
\r\n \r\n

Dnia 17 kwietnia obchodzony jest \u015awiatowy Dzie\u0144 Kostki Rubika.
\nCzy uda\u0142o si\u0119 Wam kiedykolwiek uk\u0142ada\u0107 kostk\u0119 Rubika tak, \u017ce uciek\u0142 Wam dzie\u0144? Nam si\u0119 uda\u0142o. O permutacji i silni kilka s\u0142\u00f3w od dra hab. Przemys\u0142awa Koprowskiego, prof. U\u015a z Instytutu Matematyki.<\/p>\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[\/vc_column][\/vc_row][vc_row css=”.vc_custom_1629883969954{margin-bottom: 0px !important;border-bottom-width: 0px !important;padding-bottom: 0px !important;}” el_class=”shadow”][vc_column width=”1\/3″ el_class=”foto”][vc_column_text el_class=”foto” css=”.vc_custom_1650298100661{padding-right: 20px !important;padding-left: 20px !important;}”]\"prof.<\/p>\n

Fot. archiwum U\u015a<\/em>[\/vc_column_text]\r\n

\r\n
\r\n \r\n

dr hab. Przemys\u0142aw Koprowski, prof. U\u015a<\/strong><\/small><\/span><\/p>\n

\n

Instytut Matematyki<\/p>\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[\/vc_column][vc_column width=”2\/3″]\r\n

\r\n
\r\n \r\n
<\/p>\n

Kostka Rubika i permutacje<\/span><\/h3>\n

Czy doskonale wszystkim znana kostka Rubika mo\u017ce mie\u0107 co\u015b wsp\u00f3lnego z matematyk\u0105, poza swoim (z grubsza) sze\u015bciennym kszta\u0142tem? Ot\u00f3\u017c tak! Aby jednak ten zwi\u0105zek wyt\u0142umaczy\u0107 potrzebne jest poj\u0119cie permutacji<\/strong>. Permutacja to nic innego jak zmiana kolejno\u015bci, poprzestawianie. Czegokolwiek. Mog\u0105 to by\u0107 liczby. Mog\u0105 by\u0107 krzes\u0142a. A mog\u0105 by\u0107 kolorowe kwadraciki na \u015bcianach kostki.<\/p>\n

Jak wi\u0119kszo\u015b\u0107 os\u00f3b wie ze szko\u0142y, liczba permutacji wyra\u017ca si\u0119 funkcj\u0105 zwan\u0105 silni\u0105<\/strong> i ro\u015bnie bardzo szybko wraz ze wzrostem liczby permutowanych obiekt\u00f3w. Silni\u0119 w matematyce oznaczamy symbolem wykrzyknika. Kolejno\u015bci pojedynczego obiektu nie mo\u017cna nijak zmieni\u0107. Mamy zatem tylko jedn\u0105 mo\u017cliw\u0105 permutacj\u0119. St\u0105d 1! = 1. Dla dw\u00f3ch obiekt\u00f3w, powiedzmy kolor\u00f3w karcianych, mamy ju\u017c dwie permutacje: \u2660\u2663 oraz \u2663\u2660. Dla trzech obiekt\u00f3w, permutacji b\u0119dzie ju\u017c sze\u015b\u0107: \u2660\u2663\u2665, \u2660\u2665\u2663, \u2663\u2660\u2665, \u2663\u2665\u2660, \u2665\u2660\u2663, \u2665\u2663\u2660. Dla 10 obiekt\u00f3w otrzymaliby\u015bmy ju\u017c imponuj\u0105c\u0105 liczb\u0119 10! = 3\u2009628\u2009800 mo\u017cliwych permutacji.<\/p>\n

Ile zatem permutacji \u2013 mo\u017cliwych u\u0142o\u017ce\u0144 \u2013 ma kostka Rubika?<\/span><\/h3>\n

Ka\u017cda \u015bciana kostki Rubika sk\u0142ada si\u0119 z 9 jednokolorowych kwadrat\u00f3w. \u015acian jest oczywi\u015bcie sze\u015b\u0107. Mamy wi\u0119c 9\u00d76=54 kwadraty. Czy zatem liczba wszystkich mo\u017cliwych u\u0142o\u017ce\u0144 to silnia z 54? Ot\u00f3\u017c nie. Nie wszystkie mo\u017cliwe permutacje daje si\u0119 fizycznie wykona\u0107 na kostce Rubika. Na przyk\u0142ad \u015brodkowego pola w \u017caden spos\u00f3b nie przeniesiemy do rogu.<\/p>\n

Permutacje, podobnie jak liczby ca\u0142kowite, dziel\u0105 si\u0119 na parzyste i nieparzyste. Geometrycznie, obroty odpowiadaj\u0105 permutacjom parzystym, za\u015b symetrie (p\u0142aszczyznowe w przestrzeni, b\u0105d\u017a osiowe na p\u0142aszczy\u017anie) permutacjom nieparzystym. I tak jak suma liczb parzystych jest zawsze parzysta, tak kolejne wykonanie kilku permutacji parzystych (tzw. \u201ez\u0142o\u017cenie”) jest permutacj\u0105 parzyst\u0105. W przypadku kostki Rubika mamy mo\u017cliwo\u015b\u0107 jedynie obracania \u015bcian. Zatem wszystkie rozwa\u017cane permutacje musz\u0105 by\u0107 parzyste. To wyja\u015bnia dlaczego, na przyk\u0142ad, nie da si\u0119 zamieni\u0107 miejscami dok\u0142adnie dw\u00f3ch kwadrat\u00f3w w kostce Rubika. Taka permutacja by\u0142aby nieparzysta. Wszystkich parzystych permutacji zbioru z\u0142o\u017conego z 54 kwadrat\u00f3w jest 54!\/2. Czy teraz s\u0105 to ju\u017c wszystkie mo\u017cliwe u\u0142o\u017cenia kostki Rubika? Ot\u00f3\u017c nadal nie.<\/p>\n

Uruchamiamy wyobra\u017ani\u0119<\/span><\/h3>\n

Aby policzy\u0107 wszystkie u\u0142o\u017cenia kostki Rubika, najlepiej pos\u0142u\u017cy\u0107 si\u0119 algebr\u0105 abstrakcyjn\u0105 i skonstruowa\u0107 struktur\u0119 algebraiczn\u0105 zwan\u0105 podgrup\u0105 grupy permutacji<\/strong> generowan\u0105 przez cykle odpowiadaj\u0105ce obrotom poszczeg\u00f3lnych \u015bcian kostki. Bez wdawania si\u0119 w szczeg\u00f3\u0142y, mo\u017cemy powiedzie\u0107, \u017ce algebra dostarcza narz\u0119dzi do operowania na tego typu obiektach. Okazuje si\u0119, i\u017c taka podgrupa liczy dok\u0142adnie:<\/p>\n

8!\u00d712!\u00d7210<\/sup>\u00d737<\/sup>=43 252 003 274 489 856 000 permutacji.
\n43 tryliony 252 biliardy 3 biliony 274 miliardy 489 milion\u00f3w 856 tysi\u0119cy.<\/p>\n

Tyle w\u0142a\u015bnie jest mo\u017cliwych u\u0142o\u017ce\u0144 kostki Rubika. Aby uzmys\u0142owi\u0107 czytelnikowi jak du\u017ca jest to liczba, wyobra\u017amy sobie film, w kt\u00f3rym ka\u017cda klatka pokazuje dok\u0142adnie jedno mo\u017cliwe u\u0142o\u017cenie kostki. Projekcja takiego filmu (przyjmuj\u0105 standardowo 24 klatki na sekund\u0119) trwa\u0142aby ponad 57 miliard\u00f3w lat! Gdyby ten film zacz\u0119to odtwarza\u0107 w chwili wielkiego wybuchu, do dnia dzisiejszego dotarliby\u015bmy dopiero do oko\u0142o \u00bc jego d\u0142ugo\u015bci!<\/p>\n<\/div>\r\n <\/div>\r\n <\/div>[\/vc_column][\/vc_row][vc_row css=”.vc_custom_1626772894639{margin-bottom: 0px !important;border-bottom-width: 0px !important;padding-bottom: 0px !important;}”][vc_column][vc_empty_space][\/vc_column][\/vc_row]<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[vc_row css=”.vc_custom_1626772894639{margin-bottom: 0px !important;border-bottom-width: 0px !important;padding-bottom: 0px !important;}”][vc_column width=”1\/4″][vc_single_image image=”16858″ img_size=”full” alignment=”center” style=”vc_box_rounded”][\/vc_column][vc_column width=”3\/4″][vc_separator color=”custom” accent_color=”#9b132a”][\/vc_column][\/vc_row][vc_row css=”.vc_custom_1629883969954{margin-bottom: 0px !important;border-bottom-width: 0px !important;padding-bottom: 0px !important;}” el_class=”shadow”][vc_column width=”1\/3″ el_class=”foto”][vc_column_text el_class=”foto” css=”.vc_custom_1650298100661{padding-right: 20px !important;padding-left: 20px !important;}”] Fot. archiwum U\u015a[\/vc_column_text][\/vc_column][vc_column width=”2\/3″][\/vc_column][\/vc_row][vc_row css=”.vc_custom_1626772894639{margin-bottom: 0px !important;border-bottom-width: 0px !important;padding-bottom: 0px !important;}”][vc_column][vc_empty_space][\/vc_column][\/vc_row] […]<\/p>\n

Read More…<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":92,"featured_media":26962,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_expiration-date-status":"saved","_expiration-date":0,"_expiration-date-type":"","_expiration-date-categories":[],"_expiration-date-options":[]},"categories":[321,528,9],"tags":[466,535],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/26964"}],"collection":[{"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/users\/92"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=26964"}],"version-history":[{"count":8,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/26964\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":26973,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/26964\/revisions\/26973"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/media\/26962"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=26964"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=26964"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/us.edu.pl\/wydzial\/wnst\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=26964"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}