Uniwersytet Śląski w Katowicach

Co wspólnego mają ze sobą muszla ślimaka, obraz Durera Adam i Ewa, kwiat słonecznika i kanon D-dur Pachelbela?

W każdym z nich pobrzmiewa echo najbardziej intrygującej i najczęściej spotykanej w przyrodzie sekwencji liczb zwanej w matematyce ciągiem Fibonacciego.

W roku 1202 do rodzinnego miasta powrócił z zamorskich wypraw handlowych młody kupiec Leonardo Bigollo (Leonardo z Pizy). W czasie swoich podróży po Bliskim Wschodzie wdawał się w liczne dysputy z matematykami z Indii i krajów arabskich. Po powrocie do Pizy rozwinął poznane idee i opublikował je w dziele zatytułowanym Liber Abaci („Księga Obliczeń”). Pierwszy rozdział rozpoczynał się następująco: Dziewięć indyjskich cyfr to: 987654321. Za ich pomocą, oraz przy użyciu znaku 0, zwanego przez Arabów zephirum, można zapisać każdą, dowolnie wybraną liczbę.

Była to pierwsza w cywilizacji zachodnioeuropejskiej oficjalna definicja stosowanego do dziś systemu dziesiątkowego – do tamtej pory uczeni i kupcy europejscy używali zapisu rzymskiego, który utrudniał wykonywanie obliczeń. Można powiedzieć, że nowoczesna matematyka byłaby niemożliwa bez przejścia na indyjski system zapisu (nazywany obecnie arabskim, ponieważ stamtąd oryginalnie pochodził). Mimo tak istotnego wkładu w matematykę, Leonardo jest częściej wspominany z powodu innego fragmentu swojego dzieła. W dwunastym rozdziale umieścił zestaw problemów matematycznych, wśród których znalazło się następujące zadanie: Pewien człowiek trzymał w zamkniętym kojcu parę królików. Chcemy wiedzieć, z ilu par będzie składać się po roku jego hodowla, jeśli wiemy, że w naturze tych zwierząt leży wydanie na świat nowej pary w ciągu miesiąca, a para ta stanie się płodna po upływie następnego miesiąca.

Zliczana co miesiąc liczebność populacji królików jest opisana ciągiem liczb: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Każdy wyraz tego ciągu (oprócz dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzedzających go. Wydawałoby się, że nie ma to szczególnego znaczenia, a jednak okazuje się, że żadne inne liczby znane matematyce nie występują w przyrodzie tak powszechnie, jak właśnie te. Zapewniły one sławę Leonardowi z Pizy i są nazywane od jego przydomku ciągiem Fibonacciego. Zapewne nie spodziewał się on, jak dalekosiężne będą konsekwencje zapisanego przez niego zadania. Na gruncie matematyki ciąg Fibonacciego pojawia się w tak wielu aspektach, że od kilkudziesięciu lat wydawane jest czasopismo naukowe Fibonacci Quarterly poświęcone omawianiu tych zagadnień.

Wychodząc na wiosenny spacer możemy co krok napotykać się na liczby z ciągu Fibonacciego, które zazwyczaj są skojarzone z pewną strukturą spiralną. Wewnętrzne kwiaty stokrotek układają się w lewoskrętną spiralę złożoną z 21 zwojów lub w prawoskrętną mającą 34 zwoje. U astrów górskich doliczyć się można 13 zwojów lewoskrętnych lub 21 prawoskrętnych. Rekordzistą będzie kwiat słonecznika, w którym nasiona układają się zazwyczaj w 55 lub 89 zwojów w jedną lub drugą stronę.

Jeżeli przy poszukiwaniu stokrotek natkniemy się na ślimaka przypatrzmy się dokładnie zwojom jego muszli. Jest ona przykładem występowania w przyrodzie samopodobieństwa. Ślimak wyrastając z muszli, która przestaje go mieścić, dobudowuje do niej kolejną „komnatę”, zawsze tego samego kształtu, powiększoną o pewną skalę. Kolejne komnaty układają się spiralnie wokół środka. I tu ponownie wkraczają liczby Fibonacciego. Możemy zbudować geometrycznego ślimaka zaczynając od narysowania stykających się bokami dwóch kwadratów jednostkowych. Do dłuższego boku prostokąta tworzonego przez te kwadraty dorysowujemy kwadrat o boku 2, a do powstałego w ten sposób prostokąta dorysowujemy kolejny kwadrat (o boku 3) zachowując kierunek (może być przeciwny do ruchu wskazówek zegara). Długości boków kolejnych kwadratów układają się w ciąg Fibonacciego, a ćwiartki okręgów wyznaczone przez każdy kolejny kwadrat tworzą spiralę będącą przybliżeniem spirali logarytmicznej. Jest to krzywa płaska przecinająca pod stałym kątem wszystkie półproste wychodzące z jej bieguna. W naturze tego typu spirale odnajdziemy nie tylko u ślimaków, ale również w ramionach cyklonów tropikalnych czy w wykresie drogi, jaką owad leci do źródła światła.

Nie tylko natura ma słabość do ciągu Fibonacciego. Wyniki dzielenia przez siebie kolejnych wyrazów (13/8, 21/13, 34/21, …) zbliżają się do wartości nazwanej złotą liczbą lub złotą proporcją:
1,6180339887498948482045868…

Złota liczba i związany z nią złoty podział wyznacza od wieków kanony piękna w malarstwie, architekturze i muzyce. Fasada ateńskiego Partenonu wpisuje się w prostokąt, którego stosunek boków wyraża się złotą proporcją. Takiego złotego prostokąta doszukamy się również na obrazach wielkich mistrzów, a złotych proporcji – w muzyce barokowych kompozytorów. Można bezpiecznie powiedzieć, że jest to temat tak rozległy, że jego zgłębienie wymaga czasu potrzebnego ślimakowi na dotarcie do końca krzywej logarytmicznej…

Read in english