17 kwietnia – Światowy Dzień Kostki RubikaCzy udało się Wam kiedykolwiek układać kostkę Rubika tak, że uciekł Wam dzień? Nam się udało 😁
O permutacji i silni kilka słów od dra hab. Przemysława Koprowskiego, prof. UŚ z Instytutu Matematyki.
🟥Czy doskonale wszystkim znana kostka Rubika może mieć coś wspólnego z matematyką, poza swoim (z grubsza) sześciennym kształtem? Otóż tak! Aby jednak ten związek wytłumaczyć potrzebne jest pojęcie 𝗽𝗲𝗿𝗺𝘂𝘁𝗮𝗰𝗷𝗶. Permutacja to nic innego jak zmiana kolejności, poprzestawianie. Czegokolwiek. Mogą to być liczby. Mogą być krzesła. A mogą być kolorowe kwadraciki na ścianach kostki. Jak większość osób wie ze szkoły, liczba permutacji wyraża się funkcją zwaną silnią i rośnie bardzo szybko wraz ze wzrostem liczby permutowanych obiektów. Silnię w matematyce oznaczamy symbolem wykrzyknika. Kolejności pojedynczego obiektu nie można nijak zmienić. Mamy zatem tylko jedną możliwą permutację. Stąd 1! = 1. Dla dwóch obiektów, powiedzmy kolorów karcianych, mamy już dwie permutacje: ♠️♣️ oraz ♣️♠️. Dla trzech obiektów, permutacji będzie już sześć:♠️♣️♥️, ♠️♥️♣️, ♣️♠️♥️, ♣️♥️♠️, ♥️♠️♣️, ♥️♣️♠️.
🟧 Dla 10 obiektów otrzymalibyśmy już imponującą liczbę 10! = 3 628 800 możliwych permutacji. Ile zatem permutacji – możliwych ułożeń – ma kostka Rubika?
🟦 Każda ściana kostki Rubika składa się z 9 jednokolorowych kwadratów. Ścian jest oczywiście sześć. Mamy więc 9 × 6 = 54 kwadraty. Czy zatem liczba wszystkich możliwych ułożeń to silnia z 54? Otóż nie. Nie wszystkie możliwe permutacje daje się fizycznie wykonać na kostce Rubika. Na przykład środkowego pola w żaden sposób nie przeniesiemy do rogu.
🟨 Permutacje, podobnie jak liczby całkowite, dzielą się na parzyste i nieparzyste. Geometrycznie, obroty odpowiadają permutacjom parzystym, zaś symetrie (płaszczyznowe w przestrzeni, bądź osiowe na płaszczyźnie) permutacjom nieparzystym. I tak jak suma liczb parzystych jest zawsze parzysta, tak kolejne wykonanie kilku permutacji parzystych (tzw. „złożenie”) jest permutacją parzystą. W przypadku kostki Rubika mamy możliwość jedynie obracania ścian. Zatem wszystkie rozważane permutacje muszą być parzyste. To wyjaśnia dlaczego, na przykład, nie da się zamienić miejscami dokładnie dwóch kwadratów w kostce Rubika. Taka permutacja byłaby nieparzysta. Wszystkich parzystych permutacji zbioru złożonego z 54 kwadratów jest 54!/2. Czy teraz są to już wszystkie możliwe ułożenia kostki Rubika? Otóż nadal nie.
🟪 Aby policzyć wszystkie ułożenia kostki Rubika, najlepiej posłużyć się algebrą abstrakcyjną i skonstruować strukturę algebraiczną zwaną podgrupą grupy permutacji generowaną przez cykle odpowiadające obrotom poszczególnych ścian kostki. Bez wdawania się w szczegóły, możemy powiedzieć, że algebra dostarcza narzędzi do operowania na tego typu obiektach. Okazuje się, iż taka podgrupa liczy dokładnie
8! × 12! × 2¹⁰× 3⁷= 43 252 003 274 489 856 000 permutacji. 𝟰𝟯 𝘁𝗿𝘆𝗹𝗶𝗼𝗻𝘆 𝟮𝟱𝟮 𝗯𝗶𝗹𝗶𝗮𝗿𝗱𝘆 𝟯 𝗯𝗶𝗹𝗶𝗼𝗻𝘆 𝟮𝟳𝟰 𝗺𝗶𝗹𝗶𝗮𝗿𝗱𝘆 𝟰𝟴𝟵 𝗺𝗶𝗹𝗶𝗼𝗻𝗼́𝘄 𝟴𝟱𝟲 𝘁𝘆𝘀𝗶𝗲̨𝗰𝘆.
⬛️ Tyle właśnie jest możliwych ułożeń kostki Rubika. Aby uzmysłowić czytelnikowi jak duża jest to liczba, wyobraźmy sobie film, w którym każda klatka pokazuje dokładnie jedno możliwe ułożenie kostki. Projekcja takiego filmu (przyjmują standardowo 24 klatki na sekundę) trwałaby ponad 57 miliardów lat! Gdyby ten film zaczęto odtwarzać w chwili wielkiego wybuchu, do dnia dzisiejszego dotarlibyśmy dopiero do około ¼ jego długości!