Członkowie
- dr hab. Przemysław Koprowski (badania indywidualne)
Opis badań
Zasadniczym celem prowadzonych badań jest stworzenie kompletnego zestawu narzędzi obliczeniowych dla algebraicznej teorii form kwadratowych nad ciałami globalnymi. W tym w szczególności nad ciałami liczbowymi. Badania te zostały zapoczątkowane w pracy (wspólnej z Alfredem Czogołą):
Koprowski, Przemysław; Czogała, Alfred. Computing with quadratic forms over number fields. J. Symbolic Comput. 89 (2018), 129—145.
Od tego czasu były kontynuowane zarówno samodzielnie jak też we współpracy z Mawunyo Kofi Darkey-Mensah, Victorem Magronem, Beatą Rothkegel i Tristanem Vacconem. W szczególności przyczyniły się do awansu naukowego M.K. Darkey-Mensah, który w listopadzie 2022 obronił rozprawę doktorską zatytułowaną Algorithms for Quadratic Forms over Global Function Fields, napisaną pod kierunkiem Przemysława Koprowskiego.
Najważniejszym wynikiem dotychczasowych badań było kompletne, efektywne rozwiązanie problemu Hilberta dotyczącego przedstawialności totalnie dodatnich liczb algebraicznych jako sum czterech kwadratów. Znanym powszechnie faktem jest, iż każda dodatnia liczba całkowita jest sumą czterech kwadratów. Mówi o tym tzw. twierdzenie Lagrange’a o czterech kwadratach. W 1899 David Hilbert postawił hipotezę, iż odpowiednik twierdzenia Lagrange’a jest spełniony we wszystkich ciałach liczbowych. Mianowicie, w każdym ciele liczbowym, dowolna totalnie dodatnia liczba algebraiczna daje się zapisać jako suma czterech kwadratów. Dowód istnienia takiego przedstawienia został pokazany w roku 1921 przez Carla Siegela. Wynik Siegela (jak również jego późniejsze uogólnienie pochodzące od Helmuta Hassego) jest jednak czysto egzystencjalny. Dowodzi istnienia rozwiązania, nie pozwala jednak na jego wyznaczenie. Do roku 2021 jedynym ciałem liczbowym, dla którego znana była metoda rozwiązywania problemu czterech kwadratów było ciało liczb wymiernych. W pracy
Koprowski, Przemysław. Solving sums of squares in global fields. ISSAC ’22—Proceedings of the 2022 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 319—324, ACM, New York, 2022
pokazana została metoda rozkładu dowolnej totalnie dodatniej liczby algebraicznej na sumę kwadratów o minimalnej długości, która działa w dowolnym (z nieskończenie wielu) ciele liczbowym.
Inne prace napisane w ramach rozważanej w tematyki badań:
- Koprowski, Przemysław. Factorization and root-finding for polynomials over division quaternion algebras, w recenzji,
- Koprowski, Przemysław. Factorization and root-finding for polynomials over division quaternion algebras, w recenzji,
- Koprowski, Przemysław; Magron, Victor; Vaccon, Tristan. Pourchet’s theorem in action: decomposing univariate nonnegative polynomials as sums of five squares, w recenzji,
- Koprowski, Przemysław. Computing square roots in quaternion algebras, w recenzji,
- Koprowski, Przemysław. Isotropic vectors over global fields, w recenzji,
- Koprowski, Przemysław; Rothkegel, Beata. The anisotropic part of a quadratic form over a number field. J. Symbolic Comput. 115 (2023), 39–52,
- Koprowski, Przemysław. Computing singular elements modulo squares. Fund. Inform. 179 (2021), no. 3, 227–238.
- Darkey-Mensah, Mawunyo Kofi; Koprowski, Przemysław; Rothkegel, Beata. The anisotropic part of a quadratic form over a global function field. ISSAC ’21—Proceedings of the 2021 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 115–122, ACM, New York, (2021).
Wypracowane dotąd algorytmy zostały zaimplementowane w pakiecie CQF dla systemu Magma, który prezentowany był na konferencji The International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation 2020 (ISSAC’20) i przedstawiony w artykule:
Koprowski, Przemysław. CQF Magma package. ACM Commun. Comput. Algebra 54 (2020), no. 2, 53–56.
Zakładane efekty badań
- Publikacje naukowe
- Wnioski grantowe