Członkowie
Opis badań
Badania zespołu koncentrują się głównie na analizie asymptotyki rozmaitych klas kawałkami deterministycznych procesów Markowa z losowo przełączanymi potokami, determinującymi kształt trajektorii procesu między skokami. Te ostatnie następują w losowych odstępach czasu, zwykle o wykładniczym (lub podobnym mu) rozkładzie prawdopodobieństwa. Badane procesy znajdują zastosowanie m.in. w modelowaniu dynamiki pewnych zjawisk biologicznych, jak np. ekspresja genu. Analiza prowadzona jest w języku teorii półgrup operatorów Markowa działających na miarach borelowskich i wykorzystuje narzędzia oparte m.in na uogólnionych technikach sprzęgania procesów Markowa oraz warunkach dryftu w duchu Fostera-Lyapunova.
Wyniki prowadzonych badań dotyczą przede wszystkim:
- kwestii istnienia wzajemnej jednoznaczności między zbiorami rozkładów stacjonarnych rozpatrywanego procesu oraz łańcucha Markowa opisującego jego stany tuż po skokach;
- wskazania waunków gwarantujących wykładniczą ergodyczność procesu oraz związanego z nim łańcucha skoków w tzw. ograniczonej normie Lipschitza (znanej również jako norma Dudleya’a lub Fortet-Mouriera);
- adaptacji podstawowych twierdzeń granicznych (praw wielkich liczb, centralnego twierdzenia granicznego, prawa iterowanego logarytmu) do rozważanych klas procesów;
- formułowania kryteriów zapewniających absolutną ciągłość lub singularność rozkładów stacjonarnych względem miary Lebesgue’a lub Hausdorffa.
Wartym uwagi jest również fakt, iż wszystkie rezultaty, zarówno te już opublikowane jak i te stanowiące przedmiot obecnej pracy, obowiązują dla układów dynamicznych ewaluujących na przestrzeniach polskich (niekoniecznie lokalnie zwartych). Dzięki temu, uzyskane wyniki mogą być stosowane również w kontekście zjawisk wymagających w swym opisie rozważania funkcyjnych przestrzeni fazowych (np. w modelu autoregulacji genu rozpatruje się przestrzeń fazową złożoną z funkcji ciągłych określających koncentrację związków chemicznych w poszczególnych punktach cytoplazmy komórki).
Zwieńczeniem badań prowadzonych w ostatnim czasie są wyniki zawarte w następujących (wysłanych już celem publikacji) artykułach:
-
- D. Czapla, K. Horbacz, H. Wojewódka-Ściążko, Exponential ergodicity in the bounded-Lipschitz distance for a subclass of piecewise-deterministic Markov processes with random switching between flows, arXiv: 2011.07671.
- D. Czapla, K. Horbacz, H. Wojewódka-Ściążko, On absolute continuity of invariant measures associated with a piecewise deterministic Markov processes with random switching between flows, arXiv: 2004.06798.
Obecne prace skupiają się udowodnieniu pewnej wersji centralnego twierdzenia granicznego dla modelu analizowanego w artykule [1]. Dowód tego rezultatu bazował będzie m.in. na wykazanej w nim wykładniczej ergodyczności procesu oraz metodach stosowanych w pracy
T. Komorowski, A. Walczuk, Central limit theorem for Markov processes with spectral gap in the Wasserstein metric, Stochastic Processes and their Applications 122(5), 2012, 2155-2184.
Zakładane efekty badań
- Publikacje naukowe
- Czynny udział w konferencjach naukowych
