Uniwersytet Śląski w Katowicach

Członkowie

• dr hab. Przemysław Koprowski (badania indywidualne)

Opis badań 

Zasadniczym celem prowadzonych badań jest stworzenie kompletnego zestawu narzędzi obliczeniowych dla algebraicznej teorii form kwadratowych nad ciałami globalnymi. W tym w szczególności nad ciałami liczbowymi. Badania te zostały zapoczątkowane w pracy (wspólnej z Alfredem Czogołą):

Koprowski, Przemysław; Czogała, Alfred. Computing with quadratic forms over number fields. J. Symbolic Comput. 89 (2018), 129—145.

Od tego czasu były kontynuowane zarówno samodzielnie jak też we współpracy z Mawunyo Kofi Darkey-Mensah, Victorem Magronem, Beatą Rothkegel i Tristanem Vacconem. W szczególności przyczyniły się do awansu naukowego M.K. Darkey-Mensah, który w listopadzie 2022 obronił rozprawę doktorską zatytułowaną Algorithms for Quadratic Forms over Global Function Fields, napisaną pod kierunkiem Przemysława Koprowskiego.

Najważniejszym wynikiem dotychczasowych badań było kompletne, efektywne rozwiązanie problemu Hilberta dotyczącego przedstawialności totalnie dodatnich liczb algebraicznych jako sum czterech kwadratów. Znanym powszechnie faktem jest, iż każda dodatnia liczba całkowita jest sumą czterech kwadratów. Mówi o tym tzw. twierdzenie Lagrange’a o czterech kwadratach. W 1899 David Hilbert postawił hipotezę, iż odpowiednik twierdzenia Lagrange’a jest spełniony we wszystkich ciałach liczbowych. Mianowicie, w każdym ciele liczbowym, dowolna totalnie dodatnia liczba algebraiczna daje się zapisać jako suma czterech kwadratów. Dowód istnienia takiego przedstawienia został pokazany w roku 1921 przez Carla Siegela. Wynik Siegela (jak również jego późniejsze uogólnienie pochodzące od Helmuta Hassego) jest jednak czysto egzystencjalny. Dowodzi istnienia rozwiązania, nie pozwala jednak na jego wyznaczenie. Do roku 2021 jedynym ciałem liczbowym, dla którego znana była metoda rozwiązywania problemu czterech kwadratów było ciało liczb wymiernych. W pracy

Koprowski, Przemysław. Solving sums of squares in global fields. ISSAC ’22—Proceedings of the 2022 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 319—324, ACM, New York, 2022

pokazana została metoda rozkładu dowolnej totalnie dodatniej liczby algebraicznej na sumę kwadratów o minimalnej długości, która działa w dowolnym (z nieskończenie wielu) ciele liczbowym.

Inne prace napisane w ramach rozważanej w tematyki badań:

• Koprowski, Przemysław. Factorization and root-finding for polynomials over division quaternion algebras, w recenzji,
• Koprowski, Przemysław. Factorization and root-finding for polynomials over division quaternion algebras, w recenzji,
• Koprowski, Przemysław; Magron, Victor; Vaccon, Tristan. Pourchet’s theorem in action: decomposing univariate nonnegative polynomials as sums of five squares, w recenzji,
• Koprowski, Przemysław. Computing square roots in quaternion algebras, w recenzji,
• Koprowski, Przemysław. Isotropic vectors over global fields, w recenzji,
• Koprowski, Przemysław; Rothkegel, Beata. The anisotropic part of a quadratic form over a number field. J. Symbolic Comput. 115 (2023), 39–52,
• Koprowski, Przemysław. Computing singular elements modulo squares. Fund. Inform. 179 (2021), no. 3, 227–238.
• Darkey-Mensah, Mawunyo Kofi; Koprowski, Przemysław; Rothkegel, Beata. The anisotropic part of a quadratic form over a global function field. ISSAC ’21—Proceedings of the 2021 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 115–122, ACM, New York, (2021).

Wypracowane dotąd algorytmy zostały zaimplementowane w pakiecie CQF dla systemu Magma, który prezentowany był na konferencji The International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation 2020 (ISSAC’20) i przedstawiony w artykule:

Koprowski, Przemysław. CQF Magma package. ACM Commun. Comput. Algebra 54 (2020), no. 2, 53–56.

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe
• Wnioski grantowe

Członkowie

• prof. dr hab. Katarzyna Horbacz – lider zespołu
• dr Dawid Czapla
• dr Joanna Kubieniec
• dr Maciej Ślęczka
• dr Hanna Wojewódka-Ściążko

Opis badań 

Badania zespołu koncentrują się głównie na analizie asymptotyki rozmaitych klas kawałkami deterministycznych procesów Markowa z losowo przełączanymi potokami, determinującymi kształt trajektorii procesu między skokami. Te ostatnie następują w losowych odstępach czasu, zwykle o wykładniczym (lub podobnym mu) rozkładzie prawdopodobieństwa. Badane procesy znajdują zastosowanie m.in. w modelowaniu dynamiki pewnych zjawisk biologicznych, jak np. ekspresja genu. Analiza prowadzona jest w języku teorii półgrup operatorów Markowa działających na miarach borelowskich i wykorzystuje narzędzia oparte m.in na uogólnionych technikach sprzęgania procesów Markowa oraz warunkach dryftu w duchu Fostera-Lyapunova.

Wyniki prowadzonych badań dotyczą przede wszystkim:

• kwestii istnienia wzajemnej jednoznaczności między zbiorami rozkładów stacjonarnych rozpatrywanego procesu oraz łańcucha Markowa opisującego jego stany tuż po skokach;
• wskazania waunków gwarantujących wykładniczą ergodyczność procesu oraz związanego z nim łańcucha skoków w tzw. ograniczonej normie Lipschitza (znanej również jako norma Dudleya’a lub Fortet-Mouriera);
• adaptacji podstawowych twierdzeń granicznych (praw wielkich liczb, centralnego twierdzenia granicznego, prawa iterowanego logarytmu) do rozważanych klas procesów;
• formułowania kryteriów zapewniających absolutną ciągłość lub singularność rozkładów stacjonarnych względem miary Lebesgue’a lub Hausdorffa.

Wartym uwagi jest również fakt, iż wszystkie rezultaty, zarówno te już opublikowane jak i te stanowiące przedmiot obecnej pracy, obowiązują dla układów dynamicznych ewaluujących na przestrzeniach polskich (niekoniecznie lokalnie zwartych). Dzięki temu, uzyskane wyniki mogą być stosowane również w kontekście zjawisk wymagających w swym opisie rozważania funkcyjnych przestrzeni fazowych (np. w modelu autoregulacji genu rozpatruje się przestrzeń fazową złożoną z funkcji ciągłych określających koncentrację związków chemicznych w poszczególnych punktach cytoplazmy komórki).

Zwieńczeniem badań prowadzonych w ostatnim czasie są wyniki zawarte w następujących artykułach:

1. 1. D. Czapla, K. Horbacz, H. Wojewódka-Ściążko, Exponential ergodicity in the bounded-Lipschitz distance for a subclass of piecewise-deterministic Markov processes with random switching between flows, Nonlinear Analysis 215 (2022), art. no. 112678.
   2. D. Czapla, K. Horbacz, H. Wojewódka-Ściążko, On absolute continuity of invariant measures associated with a piecewise deterministic Markov processes with random switching between flows, Nonlinear Analysis 213 (2021), art. no. 112522.
   3. D. Czapla, K. Horbacz, H. Wojewódka-Ściążko, The central limit theorem for Markov processes that are exponentially ergodic in the bounded-Lipschitz norm, Qualitative Theory of Dynamical Systems 23 (2024), art. no. 7.

Obecne prace skupiają się udowodnieniu istnienia i jedyności rozkładu stacjonarnego oraz wykładniczej ergodyczności w normie Fortet – Mouriera dla pewnej ogólnej klasy kawałkami deterministycznych procesów Markowa z intensywnością skoków zależną od stanu układu. Wyniki te będą stanowić znaczące uogólnieniu rezultatów z pracy [1], gdzie rozważany model ograniczał się do skoków następujących ze stałą intensywnością (tj. w odstępach czasu o rozkładzie wykładniczym). Zwieńczeniem tych badań będzie publikacja dwóch artykułów:

• • D. Czapla, On the existence and uniqueness of stationary distributions for some class of piecewise-deterministic Markov processes with state-dependent jump intensity (wysłany celem publikacji w 2023 r.),
  • D. Czapla, K. Horbacz, On the exponential ergodicity for some class of piecewise-deterministic Markov processes with state-dependent jump intensity (w przygotowaniu).

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe
• Awans naukowy
• Czynny udział w konferencjach naukowych

Członkowie

• dr Anna Rzepka (badania indywidualne)

Opis badań

Przedmiotem badań są własności ciał z waluacją o dodatniej charakterystyce ciał reszt oraz ich rozszerzeń. Szczególna uwaga zwrócona jest na opis struktury rozszerzeń z defektem i własności klasy ciał głęboko rozgałęzionych.

Potrzeba lepszego zrozumienia wspomnianych rozszerzeń związana jest problemem desyngularyzacji rozmaitości algebraicznych oraz zagadnieniami teorii modeli ciał z waluacją. Uzyskane wyniki mają na celu stworzenie narzędzi do badania rozszerzeń z defektem oraz wyodrębnienie klas ciał posiadających własności istotne dla wspomnianych problemów otwartych.

Główny kierunek badań związany jest obecnie z opisem własności klasy ciał głęboko rozgałęzionych i jej uogólnień z punktu widzenia rozszerzeń z defektem, klasyfikacją rozszerzeń z defektem  oraz charakteryzacją ciał bez defektu w  mieszanej charakterystyce.

Najnowsze wyniki badań ukazały się w pracach:

• A. Rzepka, F.V. Kuhlmann, The valuation theory of deeply ramified fields and its connection with defect extensions, Trans. Amer. Math. Soc. 376(2023), 2693-2738.
• P. Cubides Kovacsics, F.-V. Kuhlmann, A. Rzepka, On valuation independence and defectless extensions of valued fields, Journal of Algebra, 555 (2020), 69-95.
• A. Blaszczok, Distances of elements in valued field extensions, Manuscripta Mathematica, 159 (2019), 397-429.

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe

Członkowie

• dr Radosław Wieczorek – lider zespołu
• dr hab. Katarzyna Pichór
• dr Andrzej Tomski
• prof. dr hab. Marta Tyran-Kamińska

Opis badań 

Zostanie podany niebawem.

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe

Członkowie

• dr hab. Janusz Morawiec – lider zespołu
• dr hab. Oleksandr Maslyuchenko
• dr Thomas Zürcher

Opis badań 

Zainteresowania zespołu badawczego koncentrują się wokół równań funkcyjnych, szeroko rozumianej analizy, układów dynamicznych, probabilistyki i topologii. Obecnie zespół bada:

• rozwiązania równania funkcyjnego
  

i jego odpowiednika skończonego rzędu w rozmaitych klasach funkcji;

• możliwości charakteryzacji i zastosowań słabej granicy ciągu iteracji funkcji o wartościach losowych;
• miary niezmiennicze losowych iterowanych układów funkcyjnych złożonych z homeomorfizmów przedziału;
• własności przestrzeni funkcji oddzielnie ciągłych (czyli ciągłych ze względu na każdą ze zmiennych) z topologią jednostajnej zbieżności na zbiorach postaci ;
• hemimetryzowalność przestrzeni topologicznych oraz zbiór punktów ciągłości funkcji oddzielnie ciągłych, przyjmujących wartości w przestrzeni hemimetryzowalnej;
• zbiory graniczne i oscylacje dla funkcji z różnych klas;
• odwzorowania, które zachowują abstrakcyjną relację leżenia pomiędzy.

Opis dostępny jest również w pliku PDF.

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe

Członkowie

• dr Maria Kania-Błaszczyk (badania indywidualne)

Opis badań

Od kilku lat prowadzę badania w zakresie istnienia rozwiązań równań ewolucyjnych, równań zawierających pochodne ułamkowe oraz istnienia globalnych atraktorów. Uczestniczyłam w badaniu istnienia i asymptotyki rozwiązań następujących równań:

• równania Cahna-Hilliarda,
• uogólnionego równania Kortewega-de Vriesa,
• zmodyfikowanego równania Swifta-Hohenberga,
• układu Kortewega-de Vriesa-Burgersa,
• równania Quasi-Geotrophic,
• podkrytycznego równanie Hamiltona-Jacobiego z pochodną ułamkową,
• równania Burgersa z pochodną ułamkową.

Zamierzam kontynuować badania poświęcone tej tematyce.

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe

Członkowie

• prof. dr hab. Tomasz Dłotko (badania indywidualne)

Opis badań

W latach 2023-2024 zamierzam kontynuować badanie regularności lokalnych rozwiązań wywodzących się z fizyki równań z operatorem sektorialnym w części głównej. Obecnie w przygotowaniu jest wspólna z Radosławem Czają przeglądowa praca „Evolution equations with sectorial operator on fractional power scales”, opisująca teorię abstrakcyjną oraz omawiająca jej zastosowania do hydrodynamicznego równania Quasi-geostrophic w wymiarze 2 oraz do biologicznego równania chemotaksji.

Drugim problemem, który mam zamiar się zająć, jest zastosowanie technik teorii półgrup do badania rozwiązalności nieliniowych (dokładniej; quasi-liniowych) równań ewolucyjnych obejmujących w szczególności układy równań parabolicznych. Jest to kontynuacja wcześniejszych badań równania Naviera-Stokesa z lat 2016-2018.

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe

Członkowie

• prof. dr hab. Michał Baczyński – lider zespołu
• dr Piotr Helbin
• dr Katarzyna Miś
• mgr Grzegorz Moś (doktorant)
• mgr Mateusz Pieszczek (doktorant)

Opis badań 

Głównym celem naukowym grupy badawczej jest badanie różnych metod i systemów opartych na logice rozmytej, gdzie kluczowym narzędziem są spójniki wielowartościowe, w tym implikacje rozmyte, rozwiązanie równań i/lub nierówności funkcyjnych pojawiających w trakcie analizy takich systemów oraz podanie warunków i wniosków istotnych dla specjalistów projektujących oraz implementujących systemy rozmyte.

Kolejny kierunek badań wiąże się z teoretycznym spojrzeniem na zagadnienia logiki rozmytej, w tym na zbadanie jej z punktu widzenia teorii kategorii.

Celem badań grupy jest również zdefiniowanie, analiza własności oraz zastosowanie funkcji agregujących struktur opartych na siatce heksagonów.

Najnowsze wyniki badań zawarte zostały w publikacjach:

• J. Dombi, M. Baczyński, On the distributivity of fuzzy implications and the weighted S-implications, International Journal of Approximate Reasoning 136 (2021) 110-131.
• P. Żywica, M. Baczyński, An effective similarity measurement under epistemic uncertainty, Fuzzy Sets and Systems 431 (2022) 160-177.
• M. Baczyński, P. Berruezo, P. Helbin, S. Massanet, W. Niemyska, On the Sheffer stroke operation in fuzzy logic, Fuzzy Sets and Systems 431 (2022) 110-128.
• K. Miś, M. Baczyński, P. Helbin, On functional equations and inequalities related to some reasoning schemes that involve fuzzy implications, Fuzzy Sets and Systems 441 (2022) 33-57.
• M. Baczyński, W. Fechner, S. Massanet, On a generalization of multiplicative Sincov’s equation for fuzzy implication functions, Fuzzy Sets and Systems 451 (2022) 196-205.
• P. Helbin, On some categories of triangular norms on the real unit interval, Iranian Journal of Fuzzy Systems 19 (5), 183-198, 2022.
• K. Miś, M. Baczyński, The Compositional Rule of Inference vs the Bandler-Kohout Subproduct: a Comparison of Two Standard Rules of Inference, In: M. Ganzha, L. Maciaszek, M. Paprzycki, D. Ślęzak (eds.), Position Papers of the 17th Conference on Computer Science and Intelligence Systems (FEDSCIS 2022) September 4-7, 2022. Sofia, Bulgaria, Annals of Computer Science and Information Systems Volume 31, Warszawa, Polskie Towarzystwo Informatyczne, 2022, pp. 19-26.
• M. Pieszczek, M. Baczyński, Preservation of the Ordering Property Under the Quadratic Polynomial Construction of Fuzzy Implication Functions, In: D. Ciucci, I. Couso, J. Medina, D. Ślęzak, D. Petturiti, B. Bouchon-Meunier, R.R. Yager (eds.), Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems. IPMU 2022. Communications in Computer and Information Science, vol 1601, Springer, Cham, 2022, pp. 194-205.
• K. Miś, Construction of Fuzzy Implications from the Bandler-Kohout Subproduct, In: D. Ciucci, I. Couso, J. Medina, D. Ślęzak, D. Petturiti, B. Bouchon-Meunier, R.R. Yager (eds.), Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems. IPMU 2022. Communications in Computer and Information Science, vol 1601, Springer, Cham, 2022, pp. 219–229.
• G. Moś, Honeycomb-Based Polygonal Chains Aggregation Functions, In: D. Ciucci, I. Couso, J. Medina, D. Ślęzak, D. Petturiti, B. Bouchon-Meunier, R.R. Yager (eds.), Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems. IPMU 2022. Communications in Computer and Information Science, vol 1601, Springer, Cham, 2022, pp. 219–229.
• K. Miś, M. Baczyński, A note on „On special fuzzy implications”, Fuzzy Sets and Systems 359 (2019) 90-94.
• W. Niemyska, M. Baczyński, On some equation related to the distributivity laws of fuzzy implications. Jensen equation extended to the infinity, Fuzzy Sets and Systems 359 (2019) 95-111.
• P. Helbin, M. Baczyński, P. Grzegorzewski, W. Niemyska, Some properties of fuzzy implications based on copulas, Information Sciences 502 (2019) 1-17.
• K. Miś, M. Baczyński, Different forms of generalized hypothetical syllogism with regard to R-implications, In: L. Rutkowski, R. Scherer, M. Korytkowski, W. Pedrycz, R. Tadeusiewicz, J. Żurada (eds), Artificial Intelligence and Soft Computing. ICAISC 2019. Lecture Notes in Computer Science, vol 11508. Springer, Cham 2019, pp. 304-313. ISBN 978-3-030-20911-7.
• P. Helbin, M. Baczyński, K. Miś, Some Remarks on Generalized Hypothetical Syllogism and Yager’s Implications, In: R. Halaš, M. Gagolewski, R. Mesiar R. (eds), New Trends in Aggregation Theory. AGOP 2019. Advances in Intelligent Systems and Computing, vol 981. Springer, Cham 2019, pp. 129-139. ISBN 978-3-030-19493-2.
• K. Miś, M. Baczyński, P. Helbin, Some Remarks on the Generalized Scheme of Reduction to Absurdity and Generalized Hypothetical Syllogism in Fuzzy Logic, In: Proceedings of the 2019 Conference of the International Fuzzy Systems Association and the European Society for Fuzzy Logic and Technology (EUSFLAT 2019), Atlantis Press 2019, pp. 423-429.  ISBN 978-94-6252-770-6.
• J. Dombi, M. Baczyński, General Characterization of Implication’s Distributivity Properties: The Preference Implication, IEEE Transactions on Fuzzy Systems 28 (11), Nov. 2020, 2982-2995.
• K. Miś, M. Baczyński, Some Remarks on Approximate Reasoning and Bandler-Kohout Subproduct, In: M.J. Lesot et al. (eds), Information Processing and Management of Uncertainty in: Knowledge-Based Systems. IPMU 2020, Communications in Computer and Information Science, vol 1238, Springer, Cham, 2020, pp. 775-787. ISBN 978-3-030-50142-6.

oraz przedstawione na konferencjach międzynarodowych:

• WCCI’2020, World Congress on Computational Intelligence (including FUZZ-IEEE 2020), Glasgow, UK, July 19-24, 2020 (online).
  
• IFSA-EUSFLAT 2021 (jointly with the AGOP, FQAS, and IJCRS) The 19th World Congress of the International Fuzzy Systems Association (IFSA) and the 12th Conference of the European Society for Fuzzy Logic and Technology (EUSFLAT) organized jointly with the AGOP, FQAS, and IJCRS conferences, Bratislava, Slovakia, September 19-24, 2021.
  
• FSTA 2022, The Sixteenth International Conference on Fuzzy Sets Theory and Applications, Liptovský Ján, Slovak Republic, January 30-February 4, 2022.
  
• PP-RAI 2022, Konferencja Polskiego Porozumienia na Rzecz Rozwoju Sztucznej Inteligencji, Gdynia, Polska, 25-27 kwietnia 2022 r.
  
• IPMU’2022, 19th International Conference on Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems, Milan, Italy, July 11-15, 2022.
  
• IWIFSGN’2022, Twentieth International Workshop on Intuitionistic Fuzzy Sets and Generalized Nets, Warsaw, Poland, October 14, 2022.
  
• CFIS2022, 9th Joint Congress on Fuzzy and Intelligent Systems, Higher Education Complex of Bam, Khalij-Fars Highway, Bam, Kerman, Iran, March 2-4, 2022 (virtual edition).
• ISFS 2019, The 4th International Symposium on Fuzzy Sets-Uncertainty Modelling, University of Rzeszów, Rzeszów, Poland, May 23-24, 2019.
• ICAISC 2019, The 18th International Conference on Artificial Intelligence and Soft Computing, Zakopane, Poland, June 16-20, 2019.
• AGOP 2019, 10th International Summer School on Aggregation Operators, Olomouc, Czech Republic, July 1-4, 2019.
• EUSFLAT-2019, 11th Conference of the European Society for Fuzzy Logic and Technology EUSFLAT-2019, Prague, Czech Republic, September 9-13, 2019.
• FSTA 2020, The Fifteen International Conference on Fuzzy Sets Theory and Applications, Liptovský Ján, Slovak Republic, January 26-31, 2020.
• IPMU’2020, 18th International Conference on Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems, Lisbon, Portugal, June 15-19, 2020 (online).

W 2020 roku Pani K. Miś uzyskała stopień naukowy doktora, zaś Pan Michał Baczyński otrzymał tytuł profesora.

Istotnym osiągnięciem grupy badawczej jest zdobycie nagrody Best Student Paper Award na konferencji międzynarodowej EUSFLAT-2019 w Czechach za pracę Some Remarks on the Generalized Scheme of Reduction to Absurdity and Generalized Hypothetical Syllogism in Fuzzy Logic autorstwa K. Miś, M.Baczyńskiego, P. Helbina. Publikacja była prezentowana przez mgr K. Miś.

Informacją o badaniach naukowych grupy badawczej jest też dostępna w artykule Gazety Uniwersyteckiej UŚ: https://gazeta.us.edu.pl/node/425753.

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe,
• Wnioski grantowe,
• Awans naukowy,
• Udział w konferencjach międzynarodowych, których publikacje są indeksowane w bazie WoS i/lub SCOPUS,
• Odczyty na krajowych i zagranicznych seminariach naukowych.

Członkowie

• dr Marta Nowakowska (badania indywidualne)

Opis badań 

Obecny kierunek badań koncentruje się na pierścieniach łącznych z amalgamacją, które są związane z rozszerzeniami pierścieni. Między innymi następujące prace stały się inspiracją do rozpoczęcia badań:

• Marco D’Anna, Marco Fontatna, An amalgamated duplication of a ring along an ideal: the basic properties, Journal of Algebra and its Applications, Vol. 06, No. 03 (2007), 443-459.
• Marco D’Anna, Carmelo Antonio Finocchiaro, Marco Fontana, Amalgamated algebras along an ideal, in: Commutative Algebra and Applications, Walter de Gruyter (2009), 155-172.
• Marco D’Anna, Carmelo Antonio Finocchiaro, Marco Fontana, Properties of chains of prime ideals in amalgamated algebra along an ideal, J. Pure Appl. Algebra 214 (2010), 1633-1641.
• Mourad El Maalmi, Hakima Mouants, On Steinitz-like properties in amalgamated algebras along an ideal, Journal of Algebra and its Applications, Vol. 19, No. 12, 2050237 (2020).

Powyższe prace dotyczą pierścieni przemiennych z jedynkami, a zawarte w nich rezultaty uzyskiwane są m.in. przy pomocy narzędzi teorii kategorii. Głównym celem badań jest przeniesienie wyników na pierścienie łączne (również bez jedynek), nie korzystając z teorii kategorii, a ze strukturalnej teorii pierścieni, oraz otrzymanie ich przemiennych odpowiedników jako natychmiastowych wniosków z uzyskanych ogólniejszych rezultatów.

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe

Członkowie

• prof. dr hab Jan Cholewa (badania indywidualne)

Opis badań 

Badane są równania ewolucyjne; w tym równania paraboliczne w przestrzeni R^N. Dla tych równań badane są półgrupy globalnych rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Rozważania prowadzone są w skalach przestrzeni Banacha.

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe

Członkowie

• dr hab. Tomasz Szostok – lider zespołu
• dr hab. Roman Badora
• prof. dr hab. Roman Ger
• dr Radosław Łukasik
• dr hab. Andrzej Olbryś
• prof. dr hab. Maciej Sablik 
• dr hab. Ekaterina Shulman
• dr hab. Justyna Sikorska
• dr Marcin Zygmunt
• mgr Epebinu Abayomi Dennis (doktorant)
• mgr Chisom Prince Okeke (doktorant)
• mgr Timothy Nadhomi (doktorant).

Opis badań 

Zainteresowania badawcze zespołu koncentrują się wokół następujących zagadnień:

• teoria stabilności w sensie Hyersa-Ulama;
• teoria funkcjonałów addytywnych i wypukłych i twierdzenia o oddzielaniu;
• wypukłość wyższych rzędów i funkcje wielomianowe;
• średnie niezmiennicze i ich zastosowania w teorii równań i nierówności funkcyjnych;
• metody równań funkcyjnych w teorii średnich;
• równania funkcyjne związane z regułami kwadraturowymi;
• warunkowe równania funkcyjne, w szczególności równania postulowane dla wektorów ortogonalnych;  
• geometryczne charakteryzacje przestrzeni unitarnych;
• aplikacje teorii równań funkcyjnych w analizie funkcjonalnej, algebrze, geometrii, probabilistyce, matematyce finansowej i ekonomii;
• miary ryzyka;
• funkcje sferyczne;
• teoria reprezentacji grup;
• podprzestrzenie niezmiennicze;
• geometria przestrzeni Banacha;
• teoria iteracji (układy dynamiczne);
• zastosowanie porządków stochastycznych w teorii nierówności funkcyjnych;
• nierówności związane z funkcjami wypukłymi oraz wypukłymi wyższych rzędów;
• równania i nierówności związane z analizą numeryczną i funkcjami wielomianowymi.

Wśród najistotniejszych publikacji naukowych członków zespołu wydanych w ciągu ostatnich lat, można wyszczególnić m.in. następujące prace:

• R. Badora, The Ulam Stability Problem for the Functional Equation f(x⋆g(y))=f(x)f(y). Results Math 75, 62 (2020). 
• R. Ger, Fischer-Muszély Additivity: A Half Century Story. In: ”Developments in Functional Equations and Related Topics”, A Volume dedicated to the memory of Stanisław Marcin Ulam, Springer Optimization and Its Applications 124, Springer International Publishing AG 2017, 71-106.
• R. Ger, M. Sablik, Alien Functional Equations: A Selective Survey of Results. In: ”Developments in Functional Equations and Related Topics”, A Volume dedicated to the memory of Stanisław Marcin Ulam, Springer Optimization and Its Applications 124, Springer International Publishing AG 2017, 107-147.
• R. Ger, Solving alternative functional equations: what for? Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae, Sectio Computatorica, 47(2018), 273-283.
• R. Ger, On an alternative d’Alembert’s equation, Aequationes Math. 93(2019), 299-309.
• R. Ger, A short proof of alienation of additivity from quadraticity, Tatra Mountains Mathematical Publications 74(2019), 57-62.
• R. Ger, Delta-convexity with given weights, Annales Math. Silesianae 34, no. 1, a volume dedicated to Professor Zygfryd Kominek on the occasion of his 75th birthday (2020), 71-80.
• R. Łukasik, J. Sikorska, T. Szostok, On an equation of Sophie Germain, Results Math 73, 60 (2018).
• R. Łukasik, P. Wójcik, Functions Preserving the Biadditivity, Results in Mathematics, 75:82, no. 3, 2020.
• R. Łukasik, D’Alembert’s and Wilson’s equations on semigroups, Aequationes Mathematicae, vol. 94, no. 6, pp. 1269-1279, 2020.
• A. Olbryś, On sandwich theorem for delta-subadditive and delta-superadditive mappings, Results Math.72 (1-2) (2017), 385-399.
• A. Olbryś, On support, separation and decomposition theorems for t-Wright concave function, Math. Slovaca 67 (3) (2017), 719-730.
• A. Olbryś, On the K-Riemann integral and Hermite-Hadamard inequalities for K-convex functions, Aequationes Math. 91 (3) (2017), 429-444.
• A. Olbryś, Zs. Palés, Support theorems in abstract settings, Publ. Math. Debrecen 93 (1-2) (2018), 215-240.
• A. Olbryś, A support theorem for generalized convexity and its applications, J. Math. Anal. Appl. 458, (2), (2018) , 1044-1058.
• A. Olbryś, A sandwich theorem for generalized convexity and application, J. Convex Anal. 26 (3) (2019), 887-902.
• A. Olbryś, T. Szostok, On T-Schur convex maps, Results Math. 75 (1) , no. 30, 22 pp.
• A. Olbryś, On a problem of T. Szostok concerning the Hermite-Hadamard inequalities, J. Math. Anal. Appl. 475 (1) (2019), 41-50.
• A. Olbryś, On a separation theorem for delta-convex functions, Ann. Math. Sil. 34 (1) (2020), 133-141.
• M. Sablik, An elementary method of solving functional equations, Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae. Sectio Computatorica, 48 (2018) 181-188.
• M. Sablik, Bisymmetric functionals revisited or a converse of the Fubini theorem. Aequat. Math. 94 (2020), 629–649.
• M. Sablik, Zygfryd Kominek, a mathematician, a teacher, a friend. Annales Math. Silesianae 34(2020), no. 1, 1-26.
• J. M. Almira, E. V. Shulman, On certain generalizations of Levi-Civita and Wilson functional equations, Aequationes Math. 91(2017), 921-931.
• J. M. Almira, E. V. Shulman, On polynomial functions on non-commutative groups, J. Math. Anal. Appl. 475(2018), 875-888.
• E. V. Shulman, Each semipolynomial on a group is a polynomial, J. Math. Anal. Appl. 479(2019), 765-772.
• E. V. Shulman, On widths of invariant sets, Modern methods in operator theory and harmonic analysis, Springer Proc. Math. Stat. 291, Springer, Cham 2019, 249-261.
• G. L. Forti, E. V. Shulman, A comparison among methods for proving stability, Aequationes Math. 94(2020), 547-574.
• J. Chmieliński, J. Sikorska, P. Wójcik, On a ρ-orthogonally additive mappings, Results Math 75, 108 (2020).
• J. Sikorska, On a class of abstract convex cone valued functional equations, Aequationes Math. 94, 535-545 (2020).
• J. Sikorska, Alienation and the stability problem, Results Math 75, 98 (2020).
• J. Sikorska, On a method of solving some functional equations for set-valued functions, Set-Valued Var. Anal 27, 295-304 (2019).
• T. Szostok, Functional inequalities involving numerical differentiation formulas of order two, Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 41 (2018), no. 4, 2053–2066.
  
• T. Szostok, Inequalities for convex functions via Stieltjes integral, Lith. Math. J. 58 (2018), no. 1, 95–103.
• T. Szostok, Inequalities for Dragomir’s mappings via Stieltjes integrals, Bull. Aust. Math. Soc. 102 (2020), no. 2, 240-250.
• T. Szostok, Alienation of two general linear functional equations, Aequationes Math. 94 (2020), no. 2, 287-301.
• T. Szostok, Inequalities of Hermite-Hadamard type for higher order convex functions, revisited, praca przyjęta do druku w Comm. Pure Appl. Anal.

Pozostałe rodzaje aktywności

• Członkowie zespołu zasiadają w Radzie Naukowej Instytutu Matematyki (dr R. Łukasik, dr hab. A. Olbryś, prof. dr hab. M. Sablik);
• Członkowie zespołu stanowią trzon redakcji Annales Math. Silesianae (editor-in-chief M. Sablik, managing editors: J. Sikorska i T. Szostok);
• Członkowie zespołu biorą udział w organizacji i pracach jury Międzynarodowego Konkursu Studenckich Drużyn Matematycznych, organizowanego przez Instytut Matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach we współpracy z Górnośląskim Oddziałem PTM (od 2019 r.).

W konkursie uczestniczą studenci na dowolnym etapie ich studiów (licencjackich, magisterskich i doktoranckich). Konkurs odbywa się w języku angielskim i składa się z dwóch części: indywidualnej i drużynowej, w której uczestniczą drużyny składające się z pięciu zawodników. Uczestnicy otrzymują do rozwiązania w czasie 4 godzin w części indywidualnej 5 zadań, a w części drużynowej 10 zadań z nastę-pujących dziedzin: algebra i kombinatoryka, analiza matematyczna (z topologią i teorią zbiorów), równania funkcyjne (w tym równania różniczkowe), geometria i algebra liniowa, teoria miary i rachunek prawdopodobieństwa.

W 2020 roku konkurs nie odbył się w tradycyjnej formie z powodu pandemii COVID-19. W jego zastępstwie został zorganizowany konkurs internetowy wyłącznie w części drużynowej.

Wzięły w nim udział 50 drużyn studenckich z uczelni wyższych z Polski, Czech, Estonii, Rosji, Turkmenistanu i Ukrainy. W pracach jury (wybór zadań konkursowych i sprawdzanie rozwiązań) brali udział następujący członkowie zespołu: dr hab. Ekaterina Shulman i dr Marcin Zygmunt (który pełnił funkcję Przewodniczącego Jury).

W konkursie wzięła udział drużyna „Ślůnske Rachmajstry” reprezentująca Instytut Matematyki Uniwersytetu Śląskiego w składzie: Bartosz Kisiel (kapitan), Mateusz Pieszczek, Krzysztof Gomółka, Jakub Gogolok. Drużyna zdobyła tytuł laureata III stopnia.

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe
• Awans naukowy

Członkowie

• dr Beata Rothkegel (badania indywidualne)

Opis badań 

Zasadniczy kierunek badań koncentruje się na znalezieniu warunków równoważnych na to, aby ordynek w ciele globalnym był ordynkiem maksymalnym. W temacie tym ukazały się prace:

• B. Rothkegel, Maximality of orders in Dedekind domains. II, Acta Math. Hungar. 164 (2021), no. 2, 428-438;
• B. Rothkegel, Maximality of orders in Dedekind domains, J. Algebra Appl. 19 (2020), no. 7, art. no. 2050125, 1-13.
• B. Rothkegel, Maximality of orders in number fields, Banach Cent. Publ. 121 (2020), 155-160.

Wspomniana tematyka jest kontynuacją wcześniejszych badań prowadzonych przez Kazimierza Szymiczka i Marzenę Ciemałę, a następnie przez Beatę Rothkegel.

Dodatkowo prowadzone są badania w kierunku stworzenia narzędzi obliczeniowej teorii form kwadratowych nad ciałami globalnymi (we współpracy z Przemysławem Koprowskim i wcześniej z Mawunyo Kofi Darkey-Mensah). Rezultaty tych badań ukazały się w pracach:

• Koprowski, B. Rothkegel, The anisotropic part of a quadratic form over a number field, J. Symbolic Comput. 115 (2023), 39-52;
• K. Darkey-Mensah, B. Rothkegel, Computing the length of sum of squares and Pythagoras element in a global field, Fund. Inform. 184 (2021), no. 4, 297-306, published: March 2022;
• K. Darkey-Mensah, P. Koprowski, B. Rothkegel, The anisotropic part of a quadratic form over a global function field, ISSAC ’21: Proceedings of the 2021 on International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (July 2021), 115–122.

Badania te zostały zapoczątkowane przez Alfreda Czogałę i Przemysława Koprowskiego. Przyczyniły się do uzyskania 29.11.2022 r. stopnia naukowego doktora przez Mawunyo Kofi Darkey-Mensah (rola Beaty Rothkegel w przewodzie doktorskim: promotor pomocniczy).

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe

Członkowie

• dr hab. Radosław Czaja (badania indywidualne)

Opis badań 

Przedmiotem badań jest zachowanie się w czasie rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych, które można przedstawić jako abstrakcyjne semiliniowe równania różniczkowe z operatorem liniowym w części głównej generującym półgrupę analityczną. W przypadku dysypatywności równania opis ten polega na wykazaniu istnienia globalnego atraktora, eksponencjalnego atraktora lub w przypadku równań nieautonomicznych ich odpowiedników typu pullback oraz zbadaniu ich własności.

We współpracy  z prof. Janem Cholewą badamy zachowanie się rozwiązań równania czwartego rzędu Cahna-Hilliarda-Oono w całej przestrzeni R^N dla N=2,3. Wykorzystujemy tutaj wcześniejsze wyniki dotyczące mechanizmu dysypatywnego dla równań czwartego rzędu oraz nasze doświadczenie w badaniu równań wyższych rzędów w przestrzeni R^N przy słabych założeniach o całkowalności potencjału ze wspólnej publikacji

J.W Cholewa, R. Czaja, On fractal dimension of global and exponential attractors for dissipative higher order parabolic problems in R^N with general potential, Contemporary Approaches and Methods in Fundamental Mathematics and Mechanics w serii Understanding Complex Systems, Springer, 2021, 293-314.

W ramach współpracy z prof. Tomaszem Dłotko badamy regularność rozwiązań równań ewolucyjnych umieszczonych na różnych poziomach skali przestrzeni ułamkowych związanych z dodatnim operatorem sektorialnym w części głównej równania. Abstrakcyjne wyniki znajdują zastosowanie między innymi do badania regularności lokalnych rozwiązań i ich globalnej przedłużalności w czasie dla dwuwymiarowego powierzchniowego równania quasi-geostroficznego oraz do ułamkowego równania chemotaksji. Jakościowe zachowanie się rozwiązań semiliniowych równań sektorialnych, również w ogólnym przypadku, gdy nie istnieje globalny atraktor i dopuszczalne jest wybuchanie rozwiązań w skończonym czasie lub nieograniczony wzrost pewnej normy rozwiązania, badaliśmy także we wspólnej pracy

R. Czaja, T. Dłotko, Comprehensive description of solutions to semilinear sectorial equations: an overview, Nonlinear Dynamics and Systems Theory 22 (1) (2022), 21–45.

Wspólnie z dr Marią Kanią-Błaszczyk w artykule

R. Czaja, M. Kania-Błaszczyk, Dissipative mechanism and global attractor for modified Swift-Hohenberg equation in R^N, Turkish Journal of Mathematics 46 (7)(2022), 2728-2750

wykazaliśmy istnienie globalnego atraktora i zbadaliśmy jego własności w przypadku zadania Cauchy’ego dla modyfikacji równania Swifta-Hohenberga w R^N. Kontynuujemy te badania w celu zastosowania metody quasi-stabilności do oszacowania wymiaru fraktalnego globalnego oraz eksponencjalnego atraktora dla tego równania jak i innych równań wyższych rzędów w całej przestrzeni R^N.

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe

Członkowie

• dr hab. Andrzej Kucharski – lider zespołu
• dr Wojciech Bielas
• prof. dr hab. Aleksander Błaszczyk (pracownik emerytowany)
• prof. dr hab. Szymon Plewik 
• mgr Mateusz Kula (doktorant)

Opis badań 

Zespół zamierza kontynuować badania zapoczątkowane dotychczasowymi publikacjami w następujących obszarach tematycznych:

1. 1. Granice odwrotne i systemy odwrotne.

• Wojciech Bielas, Andrzej Kucharski oraz  Szymon Plewik, Inverse limits which are P-spaces. Topology Appl. 312 (2022), Paper No. 108064, 18 pp.; MR4397145.
• Judyta Bąk oraz  Andrzej Kucharski, Topological spaces with the Freese-Nation property II. Topology Appl. 304 (2021), Paper No. 107784, 11 pp.; MR4339627.
• Aleksander Błaszczyk, A construction involving inverse limits. Topology Appl. 301 (2021), Paper No. 107494, 8 pp.; MR4312945.
• Judyta Bąk oraz Andrzej Kucharski, Topological Spaces with the Freese-Nation Property, Annales Mathematicae Silesianae, (2019), vol. 33, issue 1, 41-54; MR3982583.
• Taras Banakh, Andrzej Kucharski oraz Marta Martynenko, A spectral characterization of skeletal maps. Cent. Eur. J. Math. 11 (2013), no. 1, 161-169; MR2988789.
• Andrzej Kucharski, Szymon Plewik oraz Vesko Valov, Skeletally Dugundji spaces. Cent. Eur. J. Math. 11 (2013), no. 11, 1949-1959; MR3092790.
• Taras Banakh, Andrzej Kucharski oraz Marta Martynenko, On functors preserving skeletal maps and skeletally generated compacta. Topology Appl. 159 (2012), no. 10-11, 2679-2693; MR2923438.
• Andrzej Kucharski, Szymon Plewik oraz Vesko Valov, Very I-favorable spaces. Topology Appl. 158 (2011), no. 12, 1453-1459; MR2812495.
• Andrzej Kucharski oraz Szymon Plewik, Skeletal maps and I-favorable spaces. Acta Univ. Carolin. Math. Phys. 51 (2010), suppl., 67-72; MR2752961.
• Andrzej Kucharski oraz Szymon Plewik, Inverse systems and I-favorable spaces. Topology Appl. 156 (2008), no. 1, 110-116; MR2463830.

1. 1. Gry topologiczne.

• Judyta Bąk oraz Andrzej Kucharski, The Banach-Mazur game and domain theory. Arch. Math. (Basel) 114 (2020), no. 1, 51-59; MR4047659.
• Andrzej Kucharski, Szymon Plewik oraz Vesko Valov, Game theoretic approach to skeletally Dugundji and Dugundji spaces. Topology Appl. 201 (2016), 206-216; MR3461165.
• Piotr Kalemba oraz Andrzej Kucharski, Universally Kuratowski-Ulam spaces and open-open games. Ann. Math. Sil. No. 29 (2015), 85-92; MR3495990.
• Andrzej Kucharski, On open-open games of uncountable length. Int. J. Math. Math. Sci. 2012, 11 pp.; MR2954904.
• Andrzej Kucharski oraz Szymon Plewik, Game approach to universally Kuratowski-Ulam spaces. Topology Appl. 154 (2007), no. 2, 421-427; MR2278690.

1. 1. Przestrzenie κ-normalne lub κ-metryzowalne.

• Wojciech Bielas, Andrzej Kucharski oraz Szymon Plewik, The Niemytzki plane is ϰ-metrizable. Math. Bohem. 146 (2021), no. 4, 457–469; MR4336550.
• Wojciech Bielas oraz Szymon Plewik, On RC-spaces. Arab. J. Math. 9 (2020), no. 1, 83-88; MR4062894.
• Andrzej Kucharski oraz Sławomir Turek, A generalization of κ-metrizable spaces. Topology Appl. 268 (2019), 10 pp.; MR4013204.

1. 1. P-przestrzenie, przestrzenie rozproszone.

• Szymon Plewik oraz Marta Walczyńska, On metric σ-discrete spaces. Algebra, logic and number theory, 239-253, Banach Center Publ., 108, Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2016; MR3559267.

1. 1. Przestrzenie regularne, lecz nie całkowicie regularne.

• Piotr Kalemba oraz Szymon Plewik, On regular but not completely regular spaces. Topology Appl. 252 (2019), 191-197; MR3884192.


1. 1. Własności zbioru (wszystkich) sum podszeregów ustalonego szeregu liczbowego.

• Wojciech Bielas, Szymon Plewik oraz Marta Walczyńska, On the center of distances. Eur. J. Math. 4 (2018), no. 2, 687-698; MR3799164.


1. 1. Przestrzenie uniwersalne Urysohna.

• • • Wojciech Bielas, An example of a rigid κ-superuniversal metric space. Topology Appl. 208 (2016), 127-142; MR3506974.


1. 1. Funkcje oddzielnie ciągłe.

• • • Wojciech Bielas, A separately continuous function not somewhat continuous. Ann. Math. Sil. 36 (2022), no. 1, 26–29; MR4403992.

1. 1. Charakteryzacje pewnych przestrzeni topologicznych.

• Judyta Bąk oraz  Andrzej Kucharski,  An internal characterization of complete regularity. Math. Slovaca 70 (2020), no. 3, 775–777; MR4104364.
• Aleksander Błaszczyk, A simple proof of Sierpiński’s theorem. Amer. Math. Monthly 126 (2019), no. 5, 464–466; MR3949184.

Opis badań dostępny jest również w pliku PDF.

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe,
• Awans naukowy,
• Kształcenie doktorantów.

Członkowie

• dr hab. Paweł Gładki (badania indywidualne)

Opis badań 

Główne kierunki prowadzonych obecnie badań koncentrują się na rozwijaniu teorii lokalnie przedstawialnych porządków oraz na budowaniu narzędzi potrzebnych do obliczania grup Witta wybranych schematów. W ramach tego projektu w ostatnich 3 latach zostały opublikowane następujące prace:

• W. Borczyk, P. Gładki, K. Worytkiewicz, A survey of selected categorical properties of algebras with multivalued addition, in: Algebra, Logic and Number Theory, 9-24, Banach Center Publ. 121, Inst. Math., Polish Acad. Sci., Warszawa, 2020.
• P. Gładki, K. Worytkiewicz, Witt rings of quadratically presentable fields, Categ. Gen. Algebr. Struct. Appl., 12 (2020), 1-23.
• W. Borczyk, P. Gładki, M. Rostański, Semipresentable posets and fuzzy sets, in: PP-RAI’2019: Polskie Porozumienie na rzecz Rozwoju Sztucznej Inteligencji, 2-5, 16-18.10.2019 Wroclaw, Poland: conference proceedings, 2-5, Department of Systems and Computer Networks, Faculty of Electronics, Wroclaw University of Science and Technology, 2019.
• P. Gładki, Root selections and 2p-th root selections in hyperfields, Discuss. Math. Gen. Algebra Appl., 39 (2019), 43-53.
• P. Gładki, n-th root selections in fields, Ann. Math. Silesianae, 33 (2019), 106-120.

Od października 2020 w badaniach uczestniczy też doktorant, mgr Mateusz Pulikowski.

Zakładane efekty badań

• Publikacje naukowe