Przejdź do treści

Uniwersytet Śląski w Katowicach

Kontrast sun contrast contrast contrast contrast contrast
Czcionka A A A
Wsparcie convenience convenience
  • Polski
  • English
asa
asa
search
search
Instytut Matematyki
home link Badanie naukowe Zespoły badawcze i badacze indywidualni

Zespoły badawcze i badacze indywidualni

Abstrakcyjna i obliczeniowa algebra przemienna

Członkowie

Opis badań 

Główny temat badań w chwili obecnej koncentruje się na stworzeniu w kompletnego zestawu narzędzi obliczeniowej teorii form kwadratowych nad ciałami globalnymi. Badania te zostały zapoczątkowane w pracy:

Computing with quadratic forms over number fields, J. Symbolic Comp., vol. 89 (2018), s. 129-145,

napisanej wspólnie z dr. hab. Alfredem Czogałą, zaś aktualnie kontynuowane są we współpracy z dr Beatą Rothkegel oraz doktorantem, mgr. Mawunyo Kofi Darkey-Mensah.

Najważnieszym wynikiem dotychczasowych badań jest wskazanie efektywnego rozwiązania probelmu Hilberta dotyczącego przedstawialności totalnie dodatnich liczb algebraicznych jako sum czterech kwadratów (w danym ciele liczbowym). Rozwiązanie to zostało przedstawione w pracy

Solving sums of squares in global fields, Proceedings of the 2022 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, DOI: 10.1145/3476446.3535506

Wypracowane dotąd algorytmy zostały zaimplementowane w pakiecie CQF dla systemu Magma, który prezentowany był na konferencji The International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation 2020 (ISSAC’20) i przedstawiony w artykule:

CQF Magma package, ACM Communications in Computer Algebra, 2020, vol. 54, no. 2, s. 53-56.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe
  • Wnioski grantowe

Analiza klasycznych i kwantowych równań Langevina

Członkowie

Opis badań 

Przedmiotem badań są klasyczne równania Langevina, tzn. stochastyczne równania różniczkowe 2-go rzędu z losowym gaussowskim zaburzeniem (modelującym fluktuacje termiczne),  które  opisują ruch cząstki Browna. Analizowano wpływ natężenia fluktuacji na współczynnik dyfuzji w przypadku zerowych uśrednionych sił działających na cząstkę Browna. Badano także wpływ efektów inercjalnych na własności transportowe. W przypadku kwantowych równań Langevina,  badano swobodną kwantową cząstkę w kontakcie z otoczeniem i sformułowano kwantowy odpowiednik twierdzenia o ekwipartycji energii układów klasycznych. Udało się udowodnić odpowiednik tego twierdzenia dla dowolnych układów kwantowych. 
 
Zadeklarowane publikacje wchodzące do ewaluacji Instytutu Matematyki:

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe

Asymptotyka równań ewolucyjnych

Członkowie

Opis badań 

Przedmiotem badań jest zachowanie się w czasie rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych, które można przedstawić jako abstrakcyjne semiliniowe równania różniczkowe z operatorem liniowym w części głównej generującym półgrupę analityczną. W przypadku dysypatywności równania opis ten polega na wykazaniu istnienia globalnego atraktora, eksponencjalnego atraktora lub w przypadku równań nieautonomicznych ich odpowiedników typu pullback oraz zbadaniu ich własności.

W 2020 roku ukazał się artykuł

Lattice dynamical systems: dissipative mechanism and fractal dimension of global and exponential attractors, Journal of Evolution Equations 20 (2020), 485-515,

zawierający wyniki uzyskane wspólnie z prof. Janem Cholewą, dotyczące oszacowania wymiaru globalnego atraktora i istnienia eksponencjalnego atraktora dla kratowych układów dynamicznych będących dyskretyzacją skalarnego równania reakcji-dyfuzji na prostej

Kontynuacją zastosowania metody quasi-stabilności do oszacowania wymiaru fraktalnego eksponencjalnego atraktora dla równań wyższych rzędów w przestrzeni RN przy słabych założeniach o całkowalności potencjału jest wspólna publikacja z prof. Janem Cholewą:

On fractal dimension of global and exponential attractors for dissipative higher order parabolic problems in RN with general potential,

która ukazała się właśnie jako rozdział książki

Contemporary Approaches and Methods in Fundamental Mathematics and Mechanics pod redakcją W.A. Sadowniczego i M. Zgurowskiego w serii Understanding Complex Systems, Springer, 2021

na stronach 293-314.

W ramach współpracy z prof. Tomaszem Dłotko rozpoczęliśmy badanie jakościowego zachowania się rozwiązań semiliniowych równań sektorialnych również w ogólnym przypadku, gdy nie istnieje globalny atraktor. Dopuszczamy wówczas wybuchanie rozwiązań w skończonym czasie lub nieograniczony wzrost pewnej normy rozwiązania. Podaliśmy ogólne własności rozwiązań w tej sytuacji i zilustrowaliśmy przykładami równań reakcji-dyfuzji głównie z warunkiem brzegowym typu Neumanna. Wyniki zostały zebrane w złożonej w 2020 roku pracy

Comprehensive description of solutions to semilinear sectorial equations.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe
  • Wnioski grantowe

Badanie istnienia rozwiązań równań z pochodną ułamkową

Członkowie

Opis badań

Od kilku lat prowadzę badania w zakresie istnienia rozwiązań równań ewolucyjnych, równań zawierających pochodne ułamkowe oraz istnienia globalnych atraktorów. Uczestniczyłam w badaniu istnienia i asymptotyki rozwiązań następujących równań:

  • równania Cahna-Hilliarda,
  • uogólnionego równania Kortewega-de Vriesa,
  • zmodyfikowanego równania Swifta-Hohenberga,
  • układu Kortewega-de Vriesa-Burgersa,
  • równania Quasi-Geotrophic,
  • podkrytycznego równanie Hamiltona-Jacobiego z pochodną ułamkową,
  • równania Burgersa z pochodną ułamkową.

Badania uogólnień klasycznych równań fizyki matematycznej na równania, w których operatory różniczkowe rzędu drugiego (np. minus Laplasjan) zastąpiono ułamkowymi potęgami takich operatorów cieszą się ogromnym zainteresowaniem w ostatnich 20 latach. Modele takie są interesujące zarówno dla inżynierów i fizyków jak i dla matematyków teoretyków. Zamierzam kontynuować badania poświęcone tej tematyce.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe

Deterministyczne i stochastyczne metody badania modeli przyrodniczych

Członkowie

Opis badań 

Zostanie podany niebawem.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe

Ergodyczne własności kawałkami deterministycznych procesów Markowa

Członkowie

Opis badań 

Badania zespołu koncentrują się głównie na analizie asymptotyki rozmaitych klas kawałkami deterministycznych procesów Markowa z losowo przełączanymi potokami, determinującymi kształt trajektorii procesu między skokami. Te ostatnie następują w losowych odstępach czasu, zwykle o wykładniczym  (lub podobnym mu) rozkładzie prawdopodobieństwa. Badane procesy znajdują zastosowanie m.in. w modelowaniu dynamiki pewnych zjawisk biologicznych, jak np. ekspresja genu. Analiza prowadzona jest w języku teorii półgrup operatorów Markowa działających na miarach borelowskich i wykorzystuje narzędzia oparte m.in na uogólnionych technikach sprzęgania procesów Markowa oraz warunkach dryftu w duchu Fostera-Lyapunova.

Wyniki prowadzonych badań dotyczą przede wszystkim:

  • kwestii istnienia wzajemnej jednoznaczności między zbiorami rozkładów stacjonarnych rozpatrywanego procesu oraz łańcucha Markowa opisującego jego stany tuż po skokach;
  • wskazania waunków gwarantujących wykładniczą ergodyczność procesu oraz związanego z nim łańcucha skoków w tzw. ograniczonej normie Lipschitza (znanej również jako norma Dudleya’a lub Fortet-Mouriera);
  • adaptacji podstawowych twierdzeń granicznych (praw wielkich liczb, centralnego twierdzenia granicznego, prawa iterowanego logarytmu) do rozważanych klas procesów;
  • formułowania kryteriów zapewniających absolutną ciągłość lub singularność rozkładów stacjonarnych względem miary Lebesgue’a lub Hausdorffa.

Wartym uwagi jest również fakt, iż wszystkie rezultaty, zarówno te już opublikowane jak i te stanowiące przedmiot obecnej pracy, obowiązują dla układów dynamicznych ewaluujących na przestrzeniach polskich (niekoniecznie lokalnie zwartych). Dzięki temu, uzyskane wyniki mogą być stosowane również w kontekście zjawisk wymagających w swym opisie rozważania funkcyjnych przestrzeni fazowych (np. w modelu autoregulacji genu rozpatruje się przestrzeń fazową złożoną z funkcji ciągłych określających koncentrację związków chemicznych w poszczególnych punktach cytoplazmy komórki).

Zwieńczeniem badań prowadzonych w ostatnim czasie są wyniki zawarte w następujących artykułach, opublikowanych w Nonlinear Analysis (140 p. wg. wykazu MEiN z 2021 r.):

    1. D. Czapla, K. Horbacz, H. Wojewódka-Ściążko, Exponential ergodicity in the bounded-Lipschitz distance for a subclass of piecewise-deterministic Markov processes with random switching between flows, Nonlinear Analysis 215 (2022), art. no. 112678.
    2. D. Czapla, K. Horbacz, H. Wojewódka-Ściążko, On absolute continuity of invariant measures associated with a piecewise deterministic Markov processes with random switching between flows, Nonlinear Analysis 213 (2021), art. no. 112522.

Obecne prace skupiają się udowodnieniu pewnej wersji centralnego twierdzenia granicznego dla modelu analizowanego w artykule [1]. Dowód tego rezultatu bazował będzie m.in. na wykazanej w nim wykładniczej ergodyczności procesu oraz metodach stosowanych w pracy

T. Komorowski, A. Walczuk, Central limit theorem for Markov processes with spectral gap in the Wasserstein metric, Stochastic Processes and their Applications 122(5), 2012, 2155-2184.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe
  • Czynny udział w konferencjach naukowych

Iteracyjne równania funkcyjne i analiza rzeczywista

Członkowie

Opis badań 

Zainteresowania zespołu badawczego koncentrują się wokół równań funkcyjnych, szeroko rozumianej analizy, układów dynamicznych, probabilistyki i topologii. Obecnie zespół bada:

  • rozwiązania równania funkcyjnego

i jego odpowiednika skończonego rzędu w rozmaitych klasach funkcji;

  • rozwiązania , pojawiającego się między innymi w teorii prawdopodobieństwa, równania funkcyjnego

;

  • możliwości charakteryzacji i zastosowań słabej granicy ciągu iteracji funkcji o wartościach losowych;
  • miary niezmiennicze losowych iterowanych układów funkcyjnych złożonych z homeomorfizmów przedziału;
  • własności przestrzeni funkcji oddzielnie ciągłych (czyli ciągłych ze względu na każdą ze zmiennych) z topologią jednostajnej zbieżności na zbiorach postaci ;
  • hemimetryzowalność przestrzeni topologicznych oraz zbiór punktów ciągłości funkcji oddzielnie ciągłych, przyjmujących wartości w przestrzeni hemimetryzowalnej;
  • zbiory graniczne i oscylacje dla funkcji z różnych klas;
  • odwzorowania, które zachowują abstrakcyjną relację leżenia pomiędzy.

Opis dostępny jest również w pliku PDF.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe

Istnienie, jednoznaczność i asymptotyka rozwiązań równań ewolucyjnych

Członkowie

Opis badań

W latach 2021-2022 zamierzam kontynuować badania naukowe nawiązujące do wydanej w maju 2020 monografii:

Critical Parabolic-Type Problems, Tomasz W. Dłotko, Yejuan Wang, 2020 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston, ISBN 978-3-11-059755-4.

Badania te zapewne dotyczyć będą dalszych, wywodzących się z zastosowań, przykładów równań parabolicznych i ich opisu w ramach technik używanych w tej monografii.

Drugim z zagadnień, o którym obecnie myślę, jest pełny jakościowy opis możliwych zachowań rozwiązań semiliniowych równań z operatorem sektorialnym w części głównej. Sfinalizowaliśmy właśnie, wspólnie z prof. Radosławem Czają, dłuższą pracę stanowiącą wstęp do takich badań: Comprehensive description of solutions to semilinear sectorial equations, złożoną do druku 02.12.2020.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe
  • Wnioski grantowe

Matematyczne aspekty modeli fizycznych

Członkowie

Opis badań 

Podstawowy obszar zainteresowań stanowi kwantowa teoria gier i jej potencjalne zastosowania. Prowadzone są również badania nad wykorzystaniem narzędzi fizyki teoretycznej (np. fizyki statystycznej) do analizy zjawisk społeczno-ekonomicznych (tzw. ekonofizyka).

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe

Metody inteligencji obliczeniowej

Członkowie

Opis badań 

Jednym z ważniejszych problemów występujących w systemach opartych na logice rozmytej jest optymalny dobór spójników wielowartościowych, ponieważ odgrywają one zasadniczą rolę w jej zastosowaniach. Podstawowymi spójnikami rozmytymi, które spełniają rolę uogólnionych operatorów ,,And”, ,,Or” oraz ,,Not” są, odpowiednio, t-normy, t-konormy oraz negacje rozmyte, podczas gdy reguły rozmyte typu IF-THEN są zazwyczaj modelowane przez implikacje rozmyte.

Głównym celem naukowym grupy badawczej są badania dotyczące podstaw teoretycznych metod inteligencji obliczeniowej, w tym spójników wielowartościowych wykorzystywanych w systemach rozmytych.

Najnowsze wyniki badań zawarte zostały w publikacjach:

oraz przedstawione na konferencjach międzynarodowych:

  • ISFS 2019, The 4th International Symposium on Fuzzy Sets-Uncertainty Modelling, University of Rzeszów, Rzeszów, Poland, May 23-24, 2019
  • ICAISC 2019, The 18th International Conference on Artificial Intelligence and Soft Computing, Zakopane, Poland, June 16-20, 2019.
  • AGOP 2019, 10th International Summer School on Aggregation Operators, Olomouc, Czech Republic, July 1-4, 2019.
  • EUSFLAT-2019, 11th Conference of the European Society for Fuzzy Logic and Technology EUSFLAT-2019, Prague, Czech Republic, September 9-13, 2019.
  • FSTA 2020, The Fifteen International Conference on Fuzzy Sets Theory and Applications, Liptovský Ján, Slovak Republic, January 26-31, 2020.
  • IPMU’2020, 18th International Conference on Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems, Lisbon, Portugal, June 15-19, 2020 (online).

W 2020 roku Pani K. Miś uzyskała stopień naukowy doktora, zaś Pan Michał Baczyński otrzymał tytuł profesora.

Istotnym osiągnięciem grupy badawczej jest zdobycie nagrody Best Student Paper Award na konferencji międzynarodowej EUSFLAT-2019 w Czechach za pracę Some Remarks on the Generalized Scheme of Reduction to Absurdity and Generalized Hypothetical Syllogism in Fuzzy Logic autorstwa K. Miś, M.Baczyńskiego, P. Helbina. Publikacja była prezentowana przez mgr K. Miś.

Informacją o badaniach naukowych grupy badawczej jest też dostępna w artykule Gazety Uniwersyteckiej UŚ: https://gazeta.us.edu.pl/node/425753.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe
  • Awans naukowy
  • Udział w konferencjach międzynarodowych, których publikacje są indeksowane są w bazie WoS i/lub SCOPUS
  • Odczyty na krajowych i zagranicznych seminariach naukowych.

Rozszerzenia ideałowe pierścieni łącznych

Członkowie

Opis badań 

Obecny kierunek badań koncentruje się na pierścieniach łącznych z amalgamacją, które są związane z rozszerzeniami pierścieni. Między innymi następujące prace stały się inspiracją do rozpoczęcia badań:

Powyższe prace dotyczą pierścieni przemiennych z jedynkami, a zawarte w nich rezultaty uzyskiwane są m.in. przy pomocy narzędzi teorii kategorii. Głównym celem badań jest przeniesienie wyników na pierścienie łączne (również bez jedynek), nie korzystając z teorii kategorii, a ze strukturalnej teorii pierścieni, oraz otrzymanie ich przemiennych odpowiedników jako natychmiastowych wniosków z uzyskanych ogólniejszych rezultatów.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe

Równania i nierówności funkcyjne o wielu zmiennych

Członkowie

Opis badań 

Zainteresowania badawcze zespołu koncentrują się wokół następujących zagadnień:

  • teoria stabilności w sensie Hyersa-Ulama;
  • teoria funkcjonałów addytywnych i wypukłych i twierdzenia o oddzielaniu;
  • wypukłość wyższych rzędów i funkcje wielomianowe;
  • średnie niezmiennicze i ich zastosowania w teorii równań i nierówności funkcyjnych;
  • metody równań funkcyjnych w teorii średnich;
  • równania funkcyjne związane z regułami kwadraturowymi;
  • warunkowe równania funkcyjne, w szczególności równania postulowane dla wektorów ortogonalnych;  
  • geometryczne charakteryzacje przestrzeni unitarnych;
  • aplikacje teorii równań funkcyjnych w analizie funkcjonalnej, algebrze, geometrii, probabilistyce, matematyce finansowej i ekonomii;
  • miary ryzyka;
  • funkcje sferyczne;
  • teoria reprezentacji grup;
  • podprzestrzenie niezmiennicze;
  • geometria przestrzeni Banacha;
  • teoria iteracji (układy dynamiczne);
  • zastosowanie porządków stochastycznych w teorii nierówności funkcyjnych;
  • nierówności związane z funkcjami wypukłymi oraz wypukłymi wyższych rzędów;
  • równania i nierówności związane z analizą numeryczną i funkcjami wielomianowymi.

Wśród najistotniejszych publikacji naukowych członków zespołu wydanych w ciągu ostatnich lat, można wyszczególnić m.in. następujące prace:

Pozostałe rodzaje aktywności

W konkursie uczestniczą studenci na dowolnym etapie ich studiów (licencjackich, magisterskich i doktoranckich). Konkurs odbywa się w języku angielskim i składa się z dwóch części: indywidualnej i drużynowej, w której uczestniczą drużyny składające się z pięciu zawodników. Uczestnicy otrzymują do rozwiązania w czasie 4 godzin w części indywidualnej 5 zadań, a w części drużynowej 10 zadań z nastę-pujących dziedzin: algebra i kombinatoryka, analiza matematyczna (z topologią i teorią zbiorów), równania funkcyjne (w tym równania różniczkowe), geometria i algebra liniowa, teoria miary i rachunek prawdopodobieństwa.

W 2020 roku konkurs nie odbył się w tradycyjnej formie z powodu pandemii COVID-19. W jego zastępstwie został zorganizowany konkurs internetowy wyłącznie w części drużynowej.

Wzięły w nim udział 50 drużyn studenckich z uczelni wyższych z Polski, Czech, Estonii, Rosji, Turkmenistanu i Ukrainy. W pracach jury (wybór zadań konkursowych i sprawdzanie rozwiązań) brali udział następujący członkowie zespołu: dr hab. Ekaterina Shulman i dr Marcin Zygmunt (który pełnił funkcję Przewodniczącego Jury).

W konkursie wzięła udział drużyna „Ślůnske Rachmajstry” reprezentująca Instytut Matematyki Uniwersytetu Śląskiego w składzie: Bartosz Kisiel (kapitan), Mateusz Pieszczek, Krzysztof Gomółka, Jakub Gogolok. Drużyna zdobyła tytuł laureata III stopnia.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe
  • Wnioski grantowe
  • Awans naukowy

Równania ewolucyjne w R^N i półgrupy globalnych rozwiązań

Członkowie

Opis badań 

Badane są równania ewolucyjne; w tym równania paraboliczne w przestrzeni RN. Dla tych równań badane są półgrupy globalnych rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Rozważania prowadzone są w skalach przestrzeni Banacha.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe

Semantyczne aspekty logik nieklasycznych

Członkowie

Opis badań 

Zostanie podany niebawem.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe
  • Awans naukowy
  • Prezentacja wyników badań na konferencjach.

Struktura rozszerzeń ciał z waluacją

Członkowie

Opis badań 

Przedmiotem badań są własności ciał z waluacją o dodatniej charakterystyce ciał reszt oraz   ich rozszerzeń. Szczególna uwaga zwrócona jest na opis struktury rozszerzeń z defektem i rozszerzeń bezpośrednich.

Potrzeba lepszego zrozumienia wspomnianych rozszerzeń związana jest problemem desyngularyzacji rozmaitości algebraicznych oraz zagadnieniami teorii modeli ciał z waluacją. Uzyskane wyniki mają na celu stworzenie narzędzi do badania rozszerzeń z defektem i bezpośrednich oraz wyodrębnienie klas ciał posiadających własności istotne dla wspomnianych problemów otwartych.

Główny kierunek badań związany jest obecnie z opisem zależności między klasą ciał łagodnych a klasą ciał bez defektu, charakteryzacją ciał bez defektu w sensie przestrzeni liniowych oraz klasyfikacją rozszerzeń z defektem ciał o mieszanej charakterystyce.

Najnowsze wyniki badań ukazały się w pracach:

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe

Teoria ordynków

Członkowie

Opis badań 

Zasadniczy kierunek badań koncentruje się obecnie na znalezieniu warunków równoważnych na to, aby ordynek w ciele globalnym był ordynkiem maksymalnym. W 2020 roku ukazały się na ten temat następujące prace:

Kolejna zaś praca znajduje się w recenzji.

Powyższa tematyka jest kontynuacją badań wcześniejszych prowadzonych przez prof. dr. hab. K. Szymiczka i dr M. Ciemałę, a następnie moich, których wyniki ukazały się w pracach:

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe

Zagadnienia mnogościowe w topologii

Członkowie

Opis badań 

Zespół zamierza kontynuować badania zapoczątkowane dotychczasowymi publikacjami w następujących obszarach tematycznych:

    1. Granice odwrotne i systemy odwrotne. Dotychczasowe publikacje:
    1. Gry topologiczne. Dotychczasowe publikacje:
    1. Przestrzenie κ-normalne lub κ-metryzowalne. Dotychczasowe publikacje:
    1. P-przestrzenie, przestrzenie rozproszone. Publikacja:
  • Szymon Plewik oraz Marta Walczyńska, On metric σ-discrete spaces. Algebra, logic and number theory, 239-253, Banach Center Publ., 108, Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2016; MR3559267.
    1. Przestrzenie regularne, lecz nie całkowicie regularne. Publikacja:
    1. Własności zbioru (wszystkich) sum podszeregów ustalonego szeregu liczbowego. Publikacja:
  • Wojciech Bielas, Szymon Plewik oraz Marta Walczyńska, On the center of distances. Eur. J. Math. 4 (2018), no. 2, 687-698; MR3799164.

    1. Przestrzenie uniwersalne Urysohna. Publikacja:

Opis badań dostępny jest również w pliku PDF.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe
  • Kształcenie doktorantów
  • Awans naukowy

Zastosowania hiperalgebr do form kwadratowych

Członkowie

Opis badań 

Główne kierunki prowadzonych obecnie badań koncentrują się na rozwijaniu teorii lokalnie przedstawialnych porządków oraz na budowaniu narzędzi potrzebnych do obliczania grup Witta wybranych schematów. W ramach tego projektu w ostatnich 3 latach zostały opublikowane następujące prace:

Od października 2020 w badaniach uczestniczy też doktorant, mgr Mateusz Pulikowski.

Zakładane efekty badań

  • Publikacje naukowe,
  • Wnioski grantowe.
icon
icon
icon
return to top