Uniwersytet Śląski w Katowicach

|tekst: Michalina Piątek, studentka kierunku matematyka|
|dr Anna Glenszczyk, opiekun|
|Praca została napisana na potrzeby Warsztatów z logiki|

Esej o nieskończoności

W artykule tym Autorka podejmuje próbę zgłębienia charakteru nieskończoności i zrozumienia, jakie wyzwania stawia przed naszym pojmowaniem rzeczywistości. Czy nieskończoność odnosi się do naszego świata materialnego i metafizycznego? Czy jest to matematyczny koncept? Zapraszamy do refleksji na temat tej tajemniczej idei, która wciąż pozostaje jednym z najbardziej enigmatycznych aspektów ludzkiego myślenia.

Na początek zadajmy sobie pytanie: co to jest nieskończoność? Odpowiedź nie jest prosta, bo łatwo już na samym starcie się zagubić. Pomimo, iż słowo to jest bardzo często używane w języku zarówno potocznym jak i naukowym, to na ogół jest przywoływane w wielu rozmaitych kontekstach i bywa rozumiane różnorako. Inaczej nieskończoność rozumieją ludzie nauki (filozofowie, matematycy, lingwiści, teolodzy, kosmolodzy), a zupełnie inaczej zwykli ludzie w codziennych rozmowach.
Według encyklopedii PWN definicja nieskończoności brzmi: „nieskończoność, pojęcie matematyczne i filozoficzne mające oddać idee nieosiągalności, nieograniczoności itp., definiowane na różne sposoby.”
Jak widać określenie to jest bardzo ogólne i niewiele nam w zasadzie wyjaśnia, a właściwie otwiera pole do dyskusji wskazując mnogość interpretacji.

Czy wszechświat jest nieskończony?

W naszym codziennym życiu nieskończoność wydaje się nieobecna, ponieważ wszystko z czym mamy do czynienia, można policzyć, ponumerować czy też sklasyfikować. Jesteśmy otoczeni ogromną ilością przedmiotów, ludzi i zwierząt, których ilość jest skończona. Posługujemy się językami, które mają konkretną ilość słów. Używamy pisma, które ma określoną ilość znaków. Zdajemy sobie sprawę, że każda droga, ścieżka czy las ma swój kres. Wszystko dookoła gdzieś się zaczyna i kończy. Jest namacalne, doświadczalne i skończone. Dopiero kiedy nocą spojrzymy w gwiazdy, ogarnia nas uczucie, że patrzymy na coś, co nie ma końca. Trudno sobie wyobrazić, że wszechświat może się gdzieś skończyć. Odnosimy wrażenie, że tak było od zawsze. Tymczasem gdybyśmy sięgnęli do historii nauki i astronomii czekałaby nas niespodzianka – idea nieskończonego wszechświata jest stosunkowo nowa. Pojawiła się dopiero w XVI wieku, kilkadziesiąt lat po przełomowej pracy Mikołaja Kopernika z 1543 roku „O obrotach sfer niebieskich”. I chociaż nie wiemy, kto na nią „wpadł” jako pierwszy, to ideę nieskończonego wszechświata można odnaleźć w pracy angielskiego matematyka i astronoma Thomasa Diggesa. Był on propagatorem teorii wielkiego polskiego astronoma. Przetłumaczył kosmologiczną część dzieła Kopernika dołączając do tego tekstu własną teorię nieskończonego wszechświata, w którym nieruchome gwiazdy rozmieszczone są w różnych odległościach od Słońca. Wcześniej wyobrażano sobie wszechświat jako układ nakładających się na siebie sfer, na których znajdowały się Księżyc, Słońce i znane wówczas planety. Ostatnia zaś sfera była sferą gwiazd stałych, za którą dla starożytnych uczonych nie było już nic, a dla średniowiecznych teologów leżały dodatkowe, niewidoczne dla ludzi śmiertelnych nieba.
Takie wyobrażenie nieskończonego wszechświata przedstawił Digges. Czy nowoczesna nauka ma coś nowego do powiedzenia w tym temacie? Oczywiście tak!

W 1929 r. amerykański astronom Edwin Hubble obliczył zależność między odległością dzielącą galaktyki a prędkością, z jaką się od siebie oddalają i na tej podstawie stwierdził, że wszechświat nie jest statyczny i rozszerza się. Z tego wynika logiczny wniosek: jeśli coś się rozszerza to znaczy, że nie jest nieskończone. Poza tym skoro jesteśmy w stanie oszacować liczbę atomów we wszechświecie czy też ich masę, to tego z całą pewnością nie bylibyśmy w stanie zrobić gdyby był on nieskończony.

Nieskończoność wokół nas

Co w takim razie jest nieskończone, skoro nawet wszechświat nie jest? Tutaj pojawia się problem. Współcześni naukowcy nie są w stanie wskazać w otaczającym nas świecie, niczego, co byłoby nieskończone. Każdy realnie istniejący obiekt posiada własne granice. Wielkości fizyczne mają wartości minimalne i maksymalne np. temperatura, która jest miarą średniej energii kinetycznej związanej z ruchem oraz drganiami cząsteczek tworzących dany układ, osiąga najniższą możliwą wartość, kiedy wszystkie cząsteczki danego układu pozostają w spoczynku (zero stopni Kelvina). Natomiast maksymalną wartość, wedle obecnego stanu wiedzy, osiągnęła tuż po Wielkim Wybuchu (1032 stopni Kelvina).
Przez długi czas uważano również, że światło rozchodzi się z nieskończoną prędkością. Trwało to do roku 1676, gdy duński astronom Ole Rømer podał pierwsze dowody skończonej prędkości światła i czasu jego przelotu przez orbitę ziemską. Obliczenia oparł na obserwacji zaćmień satelity Jowisza przez tę planetę.

Nieskończoność w świecie teoretycznym

Nasze poszukiwania nieskończoności w realnie istniejącym świecie zakończyły się niepowodzeniem. Pora więc jej poszukać w świecie teoretycznym stworzonym siłą ludzkich umysłów czyli w matematyce. Oczywiście przechodząc do matematyki pomijamy filozofię z całą gamą różnych znaczeń nieskończoności i teologię, gdzie nieskończoność to termin używany do określania cech Absolutu (Bóg, wszechwiedza, moc, dobroć, potęga itd.). Jak wiadomo w matematyce wszystko co jest prawidłowo zdefiniowane jest prawdziwe. Dlatego pojęcie nieskończoności znalazło w tej dziedzinie nauki bardzo szerokie zastosowanie i to bez konieczności udowadniania jego istnienia w realnym świecie.
Starożytni uczeni greccy byli pierwszymi, którzy ujęli naukowo problem nieskończoności. Na ogół obawiali się oni dopuszczenia nieskończoności do ich zasad matematycznych, tak jak unikali wprowadzenia zera, bowiem w ich mniemaniu, zero mogło być uważane za coś i w ten sposób wnieść sprzeczność do systemu ich logiki. Pomimo więc tego, że byli blisko zaakceptowania nieskończoności w swoim systemie matematycznym, nigdy nie dokonali ostatecznego kroku, aby ją tam włączyć. Zadowalali się rozważaniem procesów, które nie mają końca, lecz pozostawali pod wpływam licznych paradoksów, które się z tym wiązały. Arystoteles był pierwszym uczonym, który wyróżnił różne rodzaje nieskończoności. Podzielił ją na nieskończoność potencjalną i nieskończoność aktualną. Nieskończoność potencjalną możemy rozumieć jako możliwość utworzenia kolejnej liczby np. dla liczb naturalnych dla każdej liczby „n” możemy utworzyć liczbę „n+1″. O ile możliwość utworzenia kolejnej liczby była akceptowana przez wszystkich uczonych jako nieskończoność potencjalna, o tyle już mieć tę liczbę określało nieskończoność aktualną, czego starożytni filozofowie i matematycy już nie uznawali. Nawet w dzisiejszych czasach większość badań i ankiet wskazuje, że 50% badanych nie uznaje istnienia nieskończoności aktualnej. Co ciekawe nie chodzi tu o dojrzałość intelektualną, gdyż statystyki pokazują, że pogląd w tej sprawie nie zmienia się wraz z wiekiem badanych. Odrzucenie idei nieskończoności aktualnej wiąże się z tym, że często zagadnienia z nią związane wydają się nam sprzeczne z elementarną logiką, czyli tym, co nazywamy „intuicją”. Wraz z rozwojem matematyki stopniowo powstawało coraz więcej nowych działów związanych z kontrowersjami wokół nieskończoności. Zwłaszcza analiza matematyczna związana z tajnikami wielkości nieskończenie małych, nieprzypadkowo jest nazywana analizą nieskończonościową. Jej początków można doszukiwać się u Eudoksosa z Knidos tworzącego w IV w p.n.e., jednak w sposób systematyczny została rozwinięta w XVII w. przez uczonych tej klasy, co Newton, Leibniz czy Roberval.

Georg Cantor – pionier matematyki nieskończoności

Najwybitniejszym matematykiem kojarzonym z nieskończonością jest żyjący na przełomie XIX i XX w. niemiecki matematyk, pionier teorii mnogości, Georg Cantor. Można stwierdzić, że historia nieskończoności w matematyce dzieli się na tą przed i po Cantorze. Uporządkował on podstawowe definicje z nią związane, wprowadzając między innymi pojęcie „liczby kardynalnej” służącej niejako „policzeniu” nieskończoności.
Najważniejsze swoje wyniki uzyskał w 1874 r. Zbiory tej samej mocy, co zbiór liczb naturalnych, nazywał przeliczalnymi i wspólną im wszystkim moc oznaczał pierwszą literą hebrajskiego alfabetu ze współczynnikiem zero, czyli ℵ0 (czytaj: alef zero). W tymże 1874 r. udowodnił, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych na odcinku [0,1] nie jest przeliczalny. W tym celu zastosował tzw. rozumowanie przekątniowe, często później w różnych sytuacjach stosowane. Przyjął, że wszystkie liczby rzeczywiste odcinka [0,1] dają się ustawić w ciąg, a więc można je wypisać w postaci tablicy. Moc zbioru liczb rzeczywistych oznaczył przez gotyckie c (od słowa continuum). Swoje zmagania z nieskończonością zakończył ciężką depresją. Pod koniec życia pogrążył się w głębokim mistycyzmie i rozwijaniu koncepcji Absolutnej Nieskończoności, którą utożsamiał z Bogiem.

W tym miejscu wypada chyba zakończyć mój esej, bowiem dalsze zgłębianie tego tematu może wywołać odczucia podobne do zawrotu głowy i doprowadzić zamiast do lepszego zrozumienia tematu do wręcz przeciwnego efektu, czyli do kompletnego pomieszania pojęć. Jak widać zagadnienia związane z nieskończonością są fascynujące i prowadzą do wniosku, że na drodze do jej zrozumienia czeka nas jeszcze niejeden zwrot i być może jest to podróż, która nigdy się nie zakończy.