„Matematyka jest nielogiczna”
NAUKA | MOJA PASJA
Nauka – według definicji ze Słownika Języka Polskiego to ogół wiedzy ludzkiej ułożonej w system zagadnień, ale także zespół poglądów stanowiących usystematyzowaną całość i wchodzących w skład określonej dyscypliny badawczej.
Nauka to także czynność: uczenie się czegoś lub uczenie kogoś.
Zapraszamy do lektury cyklu Nauka | Moja Pasja, w którym nasi młodzi badacze prezentują, nad czym pracują oraz pokazują, że nauka i proces badawczy mogą wciągnąć na dobre.
|tekst: Kinga Baranowicz, studentka kierunku matematyka|
|dr Łukasz Dawidowski, opiekun|
|Praca została napisana na potrzeby Warsztatów z logiki|
Matematyka jest nielogiczna
Matematyka to pozornie nauka, w której występują ściśle określone zasady i aksjomaty, coś jest prawdziwe bądź fałszywe, nic pomiędzy. Jeśli jednak postanowimy zanurzyć się w nią głębiej, ujawnia ona przed nami więcej nieodkrytych i wręcz niespodziewanych odnóg (do jednej z których zaliczyć można logikę, będącą stosunkowo młodą nauką, w której naprawdę wiele jest jeszcze do odkrycia), które wydają się zaprzeczać narzuconym ‘logicznym’ zasadom i -’na chłopski rozum’- wydawać się mogą bezsensem.
Naszą osobistą matematyczną podróż zaczynamy już od najmłodszych lat: w podstawówce uczą nas najważniejszych, całkiem podstawowych, zasad matematycznych, wprowadzane są wszelkie pojęcia pierwotne, takie jak prosta czy płaszczyzna, które, mimo, iż trudno je zdefiniować, są dla ogółu zrozumiałe i przystępne, po prostu logiczne. W szkołach średnich matematyka rozszerzona zaczyna oddalać się od twardej ziemi, przekazywane są idee i pojęcia nie zawsze przydatne w naszym życiu, nieśmiało sygnalizuje się nazwiska wielkich matematyków, takich jak Bernoulli czy Peano. Nie przywiązuje się do nich dużej uwagi, jednak pojawiają się, a nauka wchodzi na nieco mniej przyziemny poziom. Mimo tego, że poznawane zagadnienia matematyczne są wątpliwej użyteczności, wszystko ma swój pewien porządek, ściśle określony tor działania i zasady, w końcu matematyka to nauka ścisła…
Pierwszym trudnym krokiem jest wyjście z dobrze znanej strefy komfortu, mówiącej,
że matematyka jest logiczna- trudno uwierzyć, że liczb naturalnych jest tyle samo ile całkowitych, skoro, na logikę, musi być ich przecież dwa razy więcej. Gdy przyjmiemy już do siebie ideę nieskończonego hotelu i inne podstawowe informacje zawarte w przedmiocie o trafnej nazwie ”Wstęp do matematyki”, okazuje się, że wraz z dokładniejszym poznawaniem przedmiotu, mimo wszystko wydaje się, że coraz bardziej oddalamy się od bezpiecznych norm przyjętych przez przodków, dochodząc do wielu kwestii spornych, subiektywizmu i przyjmowaniu jednej
z najbardziej logicznych dziedzin wiedzy, na wiarę.
W matematyce, gdy chcemy powiedzieć, że coś jest prawdziwe, musimy tego we właściwy sposób dowieść. Jak się okazuje, nie zawsze jest to takie proste, co potwierdza istnienie dużej liczby paradoksów, takich jak np. poruszony niegdyś na zajęciach paradoks Russela, czy wiele innych, np. Richardsa. Pokazuje nam to, że matematyka w swej istocie nie jest jeszcze spójna
i prawdopodobnie, mimo rozwoju nauki, nigdy się taka nie stanie.
Dodatkowo, możemy się spotkać także z innym problemem- nie wszystkie zagadnienia
w matematyce są rozstrzygalne. Dając na przykład problem teorii liczb – Collatza, polegający na tym, że przy dwóch określonych rekurencyjnie ciągach, składających się z liczb naturalnych, gdzie jeden, gdy liczby są parzyste, równy jest np. c1=c0/2, a dla liczb nieparzystych: c1=3*c0+1. Niezależnie od tego, jakie c0 należące do liczb całkowitych sobie wybierzemy, to ciąg ten
w pewnym momencie wpadnie w cykl 4,2,1. Mimo pozornej nieskomplikowanej treści problemu, nie ma ono na razie żadnego dowodu, a hipotez i prób zaprzeczenia jest wiele. Przytoczony argument pokazuje nam, że matematyka napotyka na pewne problemy, o których nie można powiedzieć, czy są prawdą czy nie, co może być podstawą do podważania jej sprawczości.
Ciekawym jest, że w niemal w każdym dziale matematyki znajdziemy wiele nierozwiązanych problemów. Istnieją nawet księgi, w których owe otwarte problemy są zapisane- np. Księga Szkocka, w której znajdują się zapiski matematyków lwowskich. Problemy te najczęściej występują w formie hipotez, najprawdopodobniej są prawdziwe, lecz brak im dowodów, mimo to, część matematyków przyjmuje je za prawdę, inna nie, co pokazuje, że matematyka nie jest aż tak ściśle określona. Przedstawiony dualizm przeczy jednej z najbardziej podstawowych zasad logicznych- że coś jest fałszywe bądź prawdziwe.
Matematyka na pierwszy rzut oka wydaję się logiczna, na drugi zupełnie nie, lecz, gdy nauczymy się wychodzić poza granice, które sami sobie wyznaczyliśmy, staje się nieco bardziej zrozumiała.
Uważam, że matematyka jest bardziej podobna do sztuki, działającej na podstawie bardzo ważnych podstaw, lecz prawdziwe cuda zaczyna się tworzyć, gdy zaczniemy łamać zasady, wychodzić z zamkniętego myślenia na jej temat. Ciekawym jest, że w matematyce i w sztuce
w pewnym momencie osiągamy ten sam poziom abstrakcji, nietrzymający się ram i wymykający się logice zwykłych śmiertelników.