Uniwersytet Śląski w Katowicach

Kiedy myślimy o dużych rozmiarach pierwszym skojarzeniem dla wielu z nas będą zakupy w sklepie odzieżowym. Mierzymy przecież swój obwód w talii, wzrost, czy długość rękawa. Wielkości te bywają większe lub mniejsze. Im ktoś ma więcej większych wymiarów tym większego rozmiaru poszukuje dla siebie. Przynajmniej w teorii. Rozmiar zakupionego ubrania niekoniecznie bowiem odpowiada właściwym wymiarom i wadze człowieka. Są przecież wśród nas miłośnicy przyciasnych jeansów lub za dużych o kilka rozmiarów swetrów.

Jak mają się kwestie odzieżowe do matematyki? Okazuje się, że matematyka ma swoją własną modę. Kiedy zamierzamy uszyć sobie spodnie u krawca, ten najpierw zdejmuje z nas miarę. W matematyce pojęcie miary to pewna funkcja rzeczywista zadana na specyficznej rodzinie zbiorów określanej mianem „sigma-ciała”. Ta specyficzna rodzina, mówiąc najprościej, składa się ze wszystkich zbiorów, które daną miarą możemy zmierzyć.

Mając na uwadze, że matematyczna miara to uogólnienie spojrzenia na miary klasyczne jak długość, pole, czy objętość, można byłoby powiedzieć, że miarą zbioru punktów odcinka jest jego długość, a miarą zbioru punktów kwadratu jego pole. Są jednak w matematyce miary mniej oczywiste.

Jedną z bardziej popularnych w matematyce miar jest tak zwana miara probabilistyczna. Miara probabilistyczna to inaczej prawdopodobieństwo, z którym spotykamy się już w szkole średniej, kiedy wyznaczmy szanse trafienia szóstki w rzucie kostką. Miarę probabilistyczną cechuje ograniczenie jej wartości do jedynki. Miarę „1” przyjmują zdarzenia pewne, a miarę „0” zdarzenia niemożliwe.

Inną dość pospolitą w matematyce miarą jest tak zwana miara licząca. Przypisuje ona zbiorom liczbę ich elementów, czyli konkretną liczbę naturalną w przypadku zbiorów skończonych oraz tak zwaną nieskończoność – oznaczaną symbolem przypominającym przewróconą ósemkę – w przypadku zbiorów nieskończonych. Dla przykładu rozmiarem 10-elementowego zbioru kolorów jest tutaj liczba 10, ale rozmiarem zbioru wszystkich podzbiorów tego zbioru (czyli wszystkich kolorów, które możemy uzyskać mieszając lub nie dowolną liczbę kolorów wyjściowych), który także jest zbiorem skończonym, jest już liczba 1024. Dzieje się tak dlatego, że wszystkich podzbiorów danego zbioru skończonego jest dokładne tyle co ciągów zero-jedynkowych tej samej długości. 1024 to liczba 10-elementowych ciągów zero-jedynkowych. Widzimy więc, że ze stosunkowo niedużego zbioru elementów powstał zbiór o całkiem pokaźnej mierze – teraz do wyboru jest już 1023 kolorów (jednym z podzbiorów zbioru 10-elementowego jest zbiór pusty). Moglibyśmy więc żartobliwie powiedzieć, że zbiór skończony w tej mierze może nam szybko przytyć.

Dość zaskakujące może się dla niektórych okazać stwierdzenie, że nie każdy zbiór można w matematyce zmierzyć każdą miarą. Twierdzenie Banacha-Tarskiego daje nam ku temu argumenty, gdyż mówi w skrócie o tym, że z odcinka od 0 do 1 można zrobić odcinek od 0 do 2 przesuwając odpowiednio jego rozłączne fragmenty tworzące pewien jego podział. Ponieważ przy wymogach jakie ciążą na matematycznych miarach (sumowanie się miar rozłącznych części do miary całości powstałej po ich połączeniu) takie rozciągnięcie długości jest niemożliwe, a więc przynajmniej jeden z elementów wyjściowego podziału odcinka musi być niemierzalny.

Jeszcze inną zaskakującą rzeczą jest fakt, że miara matematyczna może mieć właściwości „silnie odchudzające”. Aby pokazać takie działanie matematycznej miary przyjrzyjmy się konstrukcji znanego trójkowego zbioru Cantora. Zaczyna się ona od odcinka, z którego po podziale na trzy równe części najpierw wycinamy część środkową. Następnie z dwóch skrajnych pozostałych części podzielonych na trzy równe kawałki także odrzucamy części środkowe otrzymując już cztery jednakowej długości odcinki. W każdym z nich powtarzamy procedurę podziału na trzy składowe i odrzucenia składowej środkowej otrzymując już odcinków osiem. I tak w nieskończoność.

read this article in english