22 lipca
DZIEŃ APROKSYMACJI PI
Dla naszych Czytelników Liczba Pi dzięki Święto Liczby Pi nie jest zupełnie obca. A czy słyszeliście o jej aproksymacji? To posłuchajcie, bo na ten temat opowie prof. dr hab. Maciej Sablik z Instytutu Matematyki.
„Kartka z kalendarza” to cykl artykułów, które powstawały z okazji różnych nietypowych świąt. Autorami prezentowanych materiałów są studenci, doktoranci i pracownicy Wydziału Nauk Ścisłych i Technicznych UŚ.
Fot. archiwum UŚ
prof. dr hab. MACIEJ SABLIK
profesor,
Instytut Matematyki
Wiadomo od lat, a przynajmniej od czasu wynalazku koła, co to jest liczba π. Ten symbol oznacza stosunek obwodu okręgu do jego średnicy; już starożytni wiedzieli, że jest on stały i wynosi… 3? 3 i 1/8? 4^4/3^(4)? 355/113? 3,14? 22/7? Właśnie: to tylko niektóre z podawanych wyrażeń, przybliżonych oczywiście. Archimedes badając wielokąty opisane na okręgu oszacował liczbę π jako leżącą między 3 i 10/71 a 3 i 1/7, dla uznania jego zasług nazywamy czasem liczbę π stałą Archimedesa. Matematyk holenderski niemieckiego pochodzenia Ludolph van der Ceulen, stosując metodę Archimedesa, obliczył π najpierw z dokładnością do 20 miejsc po przecinku. Potem, poświęciwszy się obliczeniom prowadzonym aż do końca życia, uzyskał 35 miejsc po przecinku (zastosował do obliczeń wielobok o 2^62 bokach!). Wartość tę wyryto na jego nagrobku w Leiden (oryginalny nagrobek zaginął, ale jego kopię można zobaczyć – jeśli się to uda – w jednym z lejdejskich kościołów zamienionych na muzeum). Van der Ceulen żył w latach 1540 – 1610, a na jego cześć nazywano niekiedy obliczaną przez niego liczbę ludolfiną.
Dziś prowadzi się obliczenia przy pomocy komputerów i np. w styczniu 2020 r. Timothy Mullican uzyskał dokładność 50 bilionów miejsc po przecinku przy pomocy programu y-cruncher. Obliczenia zajęły 303 dni, a sama liczba zajęła ok. 281 TB miejsca.
Wszystkie podane przeze mnie przybliżenia są liczbami wymiernymi, w rzeczywistości π jest liczbą niewymierną (to udowodnił Johann Heinrich Lambert w 1761 r.), a nawet przestępną – tzn. nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych – to wynik Ferdinanda Lindemanna z 1882 r.
W 1706 walijski matematyk William Jones wprowadził symbol π jako skrót od greckiego słowa περίμετρον, czyli obwód. Potem owo oznaczenie było używane przez wielu matematyków, a użycie go przez Leonharda Eulera w 1737 r. spowodowało, że ta grecka litera stała się jedną z najbardziej znanych w kulturze, nauce i – należy to wyraźnie powiedzieć – w popkulturze. Eulerowi zawdzięczamy tzw. najpiękniejszy wzór matematyki, czyli 𝐞^𝐢π+𝟏=𝟎, łączący najważniejsze działania i najważniejsze stałe w matematyce.
Od 1988 r. w USA – a później na całym świecie – obchodzi się Dzień Liczby π, który wprowadził Larry Shaw, zauważywszy, że 3/14 to amerykańska notacja (MMDD) dnia 14 marca. Z tego powodu odbywają się konkursy na ciasto (𝘱𝘪𝘦, czyli π). Ponieważ w Europie, a szczególnie w Polsce, przyjęło się inną notację (DDMM), to 22 lipca (22/7) obchodzi się Dzień Aproksymacji Liczby π. Jest to jedno z najstarszych przybliżeń stosunku obwodu okręgu do jego średnicy. 22 lipca kojarzy się starszym z firmą E. Wedel (?!?), dodatkowo mamy dość sympatyczny powód do świętowania. Od 2007 r. organizujemy 14 marca Święto π na Uniwersytecie Śląskim, najpierw na Wydziale Matematyki, Fizyki i Chemii, a od zeszłego roku na Wydziale Nauk Ścisłych i Technicznych.
Szkoda, że inna ważna liczba, mianowicie 𝙚, zwana liczbą Eulera, nie doczekała się swojego święta. Ale 𝐞≈𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖𝟐𝟖, a jak zauważył jeden z moich przyjaciół, w roku 1828 urodził się Lew Nikołajewicz Tołstoj (9 września). Może więc ustanowić Święto Liczby e w dniu 9 września?