Uniwersytet Śląski w Katowicach

Przed kilkoma laty przypadające na ten sam dzień rocznice śmierci Kurta Gödla i urodzin Alfreda Tarskiego zainspirowały francuskiego logika Jean-Yves Beziau do zainicjowania światowych obchodów dnia logiki. Pierwsze obchody tego nowego święta 14 stycznia 2019 roku były wynikiem działania (nie)konspiracyjnej sieci powiązań między logikami na całym świecie. Aby włączyć się w świętowanie wystarczyło zaplanować na 14 stycznia wydarzenie celebrujące logikę w jakimkolwiek ujęciu (wykład, seminarium, tea-party z uczestnictwem Szalonego Kapelusznika i Białego Królika…), rozpropagować je w danej społeczności i w kanałach internetowych, a następnie uczestnicząc w nich w ustalonym dniu rozkoszować się przyjemnością płynącą z krystalicznie czystego rozumowania logicznego. W pierwsze obchody włączyło się kilkadziesiąt uniwersytetów i organizacji w przeszło 30 krajach, a idea Światowego Dnia Logiki została kilka miesięcy później podjęta przez UNESCO, które wpisało go do swojego kalendarza świąt patronackich.

Sama logika jest nauką o metodycznym myśleniu, dedukcji i dowodzeniu. Studenci matematyki, informatyki i fizyki poznają na studiach podstawy logiki klasycznej, czyli systemu zajmującego się zdaniami oznajmującymi, którym przypisuje się jedną z dwóch wartości: prawdy albo fałszu. Przy pomocy spójników logicznych można ze zdań prostych tworzyć zdania złożone, na przykład zdanie „Jeżeli Leonardo DiCaprio w 1507 roku namalował Mona Lisę, to z nieba spadają hipopotamy lub nieprawda, że Kozia Wólka jest stolicą Australii”. Posługując się rachunkiem dla spójników zdaniowych, na podstawie wartości zdań prostych, orzeka się wartość zdania złożonego (na marginesie: każdy student matematyki powinien bez problemu odpowiedzieć na pytanie, czy przytoczone przykładowe zdanie jest prawdziwe czy fałszywe).

Rachunek zdań logiki klasycznej zawdzięczamy George’owi Boole’owi, który w połowie XIX wieku rozwinął koncepcję, zgodnie z którą sądy logiczne można wyrazić w języku czysto symbolicznym, dzięki czemu da się wykonywać na nich operacje podobne do operacji elementarnej arytmetyki. Kilkadziesiąt lat później Gottlob Frege rozwinął ten system tworząc język logiki predykatów, którym posługuje się współczesna matematyka do opisu przeprowadzanych na jej gruncie wnioskowań. Logika może więc być postrzegana jako język matematyki, jednak ograniczenie się do takiego ujęcia byłoby dla niej niezwykle krzywdzące. Współcześnie logika jest w pełni rozwiniętą i zróżnicowaną dyscypliną badawczą, usytuowaną na styku między filozofią a matematyką. W drugiej połowie XX wieku logika znalazła także nieoczekiwanie zastosowanie w informatyce, gdzie dostarcza solidnych podstaw dla projektowania i weryfikacji oprogramowania i budowy komputerów, a także baz danych i sztucznej inteligencji.

A czego w logice dokonali Gödel i Tarski? W 1900 roku na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Paryżu David Hilbert sformułował 23 wielkie, nierozwiązane wówczas problemy matematyczne (część z nich pozostaje nierozwiązanych do tej pory). Drugim z problemów był wymóg dowodu spójności arytmetyki, które to zagadnienie z czasem przeistoczyło się w tzw. program Hilberta, czyli zamierzenie sformalizowania całej matematyki na podstawie aksjomatycznej, obejmujące także dowód, że ta aksjomatyka jest spójna (czyli nie może prowadzić do sprzeczności) i zupełna (nie ma w niej prawd, których nie da się udowodnić). Bojowe zawołanie Hilberta „W matematyce nie ma miejsca na ignorabimus” przeistoczyło się w suchy dyszkant, gdy w 1931 roku austriacki logik Kurt Gödel ogłosił swoje dzieło „O nierozstrzygalnych zdaniach w Principia Mathematica i systemach pokrewnych”. Jego twierdzenie o niezupełności brzmi w uproszczonej wersji następująco: w każdym systemie logicznym, który jest dostatecznie bogaty, aby opisać własności liczb całkowitych i zwykłych operacji arytmetycznych, zawsze będą zdania, które są gramatycznie poprawne, zbudowane zgodnie z regułami systemu oraz prawdziwe, ale których nie można udowodnić w obrębie tego systemu. Ponadto jeśli w takim systemie udałoby się dowieść jego własną spójność, to byłby on niespójny.

Drugi bohater dzisiejszego dnia, polski logik Alfred Tarski jako pierwszy podał formalną i nie prowadzącą do sprzeczności definicję prawdy. Pozycjonuje ona prawdę w kontekście wybranego języka (najlepiej języka formalnego) oraz konkretnego modelu. Kluczowym wkładem w definicji Tarskiego jest rozróżnienie między językiem, w którym wypowiadane jest zdanie, a metajęzykiem w którym odnosimy się do stanu rzeczy w wybranym modelu: zdanie „Śnieg jest biały” jest prawdziwe, jeżeli śnieg jest biały. Zdanie w cudzysłowie jest wypowiedzią, której prawdziwość podlega ocenie. Powtórzenie tego zdania bez cudzysłowu jest wypowiedzią w metajęzyku, która opisuje zależności występujące w wybranym przez nas modelu. Jeżeli jest nim szczyt Rysów na przełomie grudnia i stycznia, to zapewne leżący tam śnieg jest biały i można stwierdzić, że zdanie „Śnieg jest biały” jest prawdziwe.

Logikę można postrzegać jako naukę o prawdzie lub naukę poszukującą prawdy w sensie wyprowadzalności, konsekwencji czy dowodliwości. Od czasów starożytnych matematycy zastanawiali się nad naturą prawdy matematycznej, a od epoki oświecenia postrzegano matematykę jako jedyną drogę do prawdy, która ma charakter ostateczny, absolutny i jest całkowicie niezależna od zdolności ludzkiego umysłu do jej pojmowania. Tę wiarę absolutną w matematykę (której ta nauka zawdzięcza tytuł „Królowej”) na przełomie XIX i XX wieku nadwątliły wyniki Georga Cantora dotyczące nieskończoności oraz paradoks podany przez Bertranda Russella dotyczący istnienia zbioru wszystkich zbiorów. Rezultatem poszukiwania sposobu na wykluczenie paradoksów z matematyki było twierdzenie Gödla o niezupełności, które stanowiło niejako ostateczny cios dla marzeń o samowystarczalności systemu w obrębie matematyki. Paradoksalnie ten i inne wyniki (hipoteza continuum, twierdzenie Churcha, twierdzenie Cohena) nie zniszczyły matematyki, lecz wprowadziły ją na nowe, fascynujące poziomy.

Dzisiejsze święto jest okazją do celebracji prawdy sformułowanej w jasny i ścisły sposób, poszukiwanej według niepodważalnych reguł poprawnego rozumowania. Dla logików na całym świecie jest okazją do dyskusji o intuicjonizmie i konstruktywizmie, konsekwencjach twierdzenia Gödla o niezupełności i wnioskach płynących z definicji prawdy według Tarskiego; o logice parakonsystentnej, ontologii, teorii dowodu, aksjomatyzacji i semantykach logik pośrednich i modalnych, systemach wyższych rzędów, o nieskończoności i paradoksach. Jest także okazją do zanurzenia się w wygodny fotel i przeczytania po raz tysięczny „Alicji w krainie czarów”, „Logikomiksu” czy „Autostopem przez galaktykę”. Tak, właśnie tym (między innymi) zajmują się logicy.

Read in english