|dr Łukasz Dawidowski|
Od zarania dziejów choroby zakaźne oddziaływały na historię świata. Miały istotny wpływ na upadek Aten w 429 roku p.n.e., epidemia czarnej śmierci zabiła około jednej czwartej ludności ówczesnej Europy, a grypa w okresie po I wojnie światowej (tzw. hiszpanka) spowodowała śmierć co najmniej 20 milionów osób. Mimo rozwoju medycyny i higieny choroby zakaźne wciąż zbierają okrutne żniwo, szczególnie w krajach trzeciego świata. AIDS stał się głównym problemem medycznym w Afryce, zabijając ponad 20 mln ludzi od lat siedemdziesiątych. Epidemie, zwykle na mniejszą skalę i w ograniczonym obszarze, wybuchają regularnie, a razem z nami na świecie żyje wiele drobnoustrojów mogących powodować choroby zakaźne. Od końca zeszłego roku także i my znajdujemy się w zasięgu nowego wirusa o nazwie SARS-coV-2. Naukowcy do walki z tym trudnym przeciwnikiem wykorzystują między innymi modelowanie matematyczne i badania symulacyjne procesu rozprzestrzeniania się epidemii. Czy te narzędzia są jednak skuteczne?
Zagadnienie matematycznego modelowania rozwoju epidemii rozwijane jest od lat 20. ubiegłego wieku. Różnorodność i sposoby rozprzestrzeniania się nowych chorób o charakterze epidemiologicznym łączą się jednak z koniecznością budowania nowych modeli lub też istotnej przebudowy tych już istniejących.
Aktualnie naukowcy starają się podać model rozpowszechniania się wirusa SARS-coV-2, który powoduje chorobę COVID-19. Na początku kwietnia czworo naukowców z Hiszpanii opublikowało pracę, w której zaproponowali model rozprzestrzeniania się choroby COVID-19 na przykładzie Chin. Artykuł pt. „Mathematical modeling of the spread of the coronavirus disease 2019 (COVID-19) taking into account the undetected infections. The case of China” dostępny jest na stronie: www.researchgate.net.
Aby zrozumieć, z jak skomplikowanymi mechanizmami mamy do czynienia, przyjrzyjmy się najpierw kilku czynnikom, które muszą być brane pod uwagę podczas konstruowania takich modeli.
Jedne opisują zakażenia przenoszone drogą kropelkową, w tym grypę czy COVID-19. Inne z kolei służą opisom rozprzestrzeniania się chorób typu AIDS.
Przyjrzyjmy się zatem najprostszym modelom rozprzestrzeniania się chorób.
W 1927 roku szkoccy naukowcy W.O. Kermack oraz A.G. McKendrick zaproponowali rozwiązanie, które dzisiaj znane jest jako model typu SIR. Nazwa pochodzi od trzech rozpatrywanych w nim grup:
- S – osobników zdrowych i podatnych na zachorowanie (ang. Suspectible),
- I – osobników zainfekowanych (ang. Infected),
- R – osobników odpornych (ang. Resistant) lub usuniętych (ang. Removed), czyli takich, którzy nie mają już związku z epidemią.
Model dosyć znacznie upraszcza rzeczywistą sytuację, ale jest to konieczne, żeby otrzymane równania można było rozwiązać i na tej podstawie wyciągać wnioski.
Aby móc opisać sytuację za pomocą wzorów matematycznych potrzebne są jednak pewne założenia:
- osobnik zdrowy w momencie zainfekowania przechodzi do grupy, może natychmiast zarażać inne osobniki,
- osobniki zainfekowane mogą przejść do grupy R albo w wyniku śmierci, albo po wyzdrowieniu, kiedy nabywają tak zwaną stałą odporność,
- zaniedbujemy wszelkie procesy demograficzne, zakładamy, że łączna liczba osobników w populacji nie zmienia się w czasie i wynosi N = S + I + R,
- choroba jest przekazywana przez bezpośredni kontakt, a więc nie ma pośredniego nosiciela choroby, takiego jak na przykład w relacji komar-malaria,
- populacja jest jednorodna – prawdopodobieństwo zarażenia dowolnego osobnika z grupy podatnych przez dowolnego osobnika zainfekowanego jest takie same.
Założenia te w pierwszej chwili mogą wydawać się naturalne i oczywiste. Zresztą za pomocą tego modelu możemy z dobrym skutkiem opisywać rozprzestrzenianie się wielu chorób. Jeśli jednak przyjrzymy się szczegółom, możemy dostrzec pewne uproszczenia.
Nie każda choroba przebiega w taki sposób, że po zainfekowaniu (np. wirusem) od razu chorujemy i możemy zarażać inne osoby. W wielu przypadkach najpierw stajemy się tylko nosicielami, a choroba rozwija się dopiero po pewnym czasie.
Podobnie jest z założeniem, że po wyzdrowieniu (czyli przejściu do grupy R) nabieramy pełnej i dożywotniej odporności. Układ immunologiczny człowieka to niezwykle skomplikowane narzędzie do walki z wirusami i innymi drobnoustrojami. Więcej na ten temat mogliby powiedzieć immunolodzy, dlatego lepiej wróćmy do matematyki.
Śmiałym założeniem jest także wymóg stałej wielkości populacji (założenie trzecie). W sytuacji epidemii ludzie umierają także z powodu innych chorób, a i przyrost naturalny nie zostaje przecież zatrzymany.
W związku z tym musimy zdawać sobie sprawę z pewnych ograniczeń tak konstruowanego modelu matematycznego.
Przyjmujemy zatem, że choroba COVID-19 przekazywana jest przez bezpośredni kontakt między ludźmi i zakładamy jednorodność populacji. W związku z tym liczba nowych zachorowań jest proporcjonalna do liczby możliwych kontaktów między osobnikami zainfekowanymi i zdrowymi, czyli jest proporcjonalna do liczby SI.
Z tego idealistycznego założenia wynika, że każdy osobnik z grupy S może mieć kontakt z każdym osobnikiem z grupy I, a prawdopodobieństwo takiego kontaktu w ustalonej jednostce czasu nie zależy od wielkości populacji. Założenie tego typu ma sens, jeżeli epidemia dotyczy stosunkowo małego obszaru, zaś sposób przenoszenia choroby jest „niezależny” od zachowań osobników. Nie sprawdzi się więc na przykład w odniesieniu do chorób przenoszonych drogą płciową. Z kolei osobniki z grupy I mogą wyzdrowieć lub umrzeć, a liczba takich przypadków jest proporcjonalna do liczebności grupy I.
Mamy zatem dwie możliwości zmiany grupy. Na początku znajdujemy się w grupie osób zdrowych, które są podatne na zakażenie – S. Możemy w niej pozostać, ale możemy też zostać osobnikiem zarażonym i przejść do grupy I, czyli osobników chorych. Nie można jednak bezpośrednio z grupy S znaleźć się w grupie R (oznacza to, że np. nie mamy szczepionki uodparniającej na tę chorobę). Tak jak pisałem wcześniej, liczba nowych zachorowań jest wprost proporcjonalna do wielkości SI, czyli zarówno do wielkości grupy osób podatnych na zakażenie, jak i wielkości grupy osób chorych.
Czas na równanie matematyczne
Niech zatem α będzie współczynnikiem zakażenia się od osobnika z grupy I. Osobniki znajdujące się w grupie I po pewnym czasie przechodzą do grupy R, co oznacza, że albo zdrowieją, albo umierają. Tempo przechodzenia z grupy I do grupy R zależy tylko od liczby osób chorych, czyli od liczby I. Oznaczmy je poprzez β – jako współczynnik przejścia z grupy I do R. Gdybyśmy chcieli opisać model za pomocą równań matematycznych, wyglądałby on następująco:
Analiza takiego modelu wskazuje, że to, czy wybuchnie epidemia, zależy od współczynników α i β, czyli od tempa przechodzenia z grupy osób podatnych do grupy osób chorych, a następnie do grupy osób odpornych na infekcję.
Dosyć ciekawym faktem jest to, że z modelu można wywnioskować, iż średni czas okresu zainfekowania wynosi 1/β.
Ponieważ α jest współczynnikiem zarażenia się od osobnika z grupy I w jednostce czasu, więc α/β×S opisuje średnią liczbę osobników podatnych, którzy mogą zarazić się od osobnika zainfekowanego. Liczba δ=α/β×S0, gdzie S0 oznacza liczbę osobników podatnych na samym początku rozwoju choroby, decyduje o tym, czy epidemia się rozwinie. Gdy δ=1, osobnik zainfekowany będzie zastępowany przez średnio jednego osobnika zarażonego przez siebie. Zatem epidemia może wybuchnąć jedynie w przypadku, gdy δ>1, co jest równoważne dla S0>β/α.
Liczbę β/α można interpretować więc jako minimalną liczbę osobników podatnych, niezbędną do rozwoju epidemii.
Formą prezentacji sposobu przebiegu epidemii są też wykresy. Poniżej znajdują się cztery interesujące przykłady:
Model matematyczny pozwala wyliczyć maksymalną liczbę zakażonych, wynosi ona:
Jak widzimy, wszystko zależy od współczynnika δ i liczebności grupy osobników podatnych na chorobę.
Spróbujmy teraz odnieść te dane do sytuacji związanej z pandemią koronawirusa SARS-coV-2. Zacznijmy od kilku pytań.
Po pierwsze, czy współczynniki, o których mowa w modelu, możemy łatwo wyliczyć, posiłkując się dostępnymi danymi? Niestety nie.
Po drugie, czy model da się zastosować bezpośrednio do opisu tej konkretnej epidemii? I w tym przypadku odpowiedź jest prosta i niestety niekoniecznie taka, jakiej oczekiwalibyśmy. Nie, nie da się.
Przyjęte w założenia w modelu są bowiem zbyt mocne, a sam przebieg choroby nie został do końca zbadany. Zakładaliśmy raczej lokalny przebieg epidemii, a teraz mamy do czynienia z sytuacją globalną. Nie wiemy jeszcze z całą pewnością, jak kształtuje się odporność organizmu człowieka na koronawirusa po przebytej infekcji. Z ostatnich doniesień wynika, że przebyta infekcja niekoniecznie musi oznaczać nabycie tej odporności.
Jest jednak światełko w tunelu. Można spróbować zastosować ten model jako pewnego rodzaju bazę służącą do prób opisu przebiegu pandemii. Historia pokazała, że mimo, iż model nie jest idealny, dosyć dobrze charakteryzował przebieg epidemii, z którymi mieliśmy już wcześniej do czynienia.
Jak wobec tego sytuacja wygląda w Polsce? Na dzień 21 kwietnia 2020 liczba osób zainfekowanych wynosiła 9856. Wykres przedstawiający liczebność grupy składającej się z osób zarażonych wygląda następująco:
Bierzemy pod uwagę oczywiście dane na podstawie wykonanych w naszym kraju testów. Zwykle na początku rozwoju epidemii możemy zaobserwować wykładniczy wzrost liczby osób zainfekowanych. Oznacza to, że podwojenie liczby zakażonych następuje w przeciągu tego samego czasu. I tak:
- 8 marca było 11 potwierdzonych przypadków,
- 10 marca – 22 przypadki,
- 12 marca – 51,
- 14 marca – 104.
Jednak po tym okresie proces podwajania liczby stwierdzonych osób zarażonych wirusem zahamował. Najnowsze prognozy dostępne są między innymi na stronie: http://www.fizykwyjasnia.pl/, gdzie autor codziennie aktualizuje prognozy, opierając się na kilku modelach matematycznych.
Analizy przebiegu epidemii dla różnych krajów możemy także znaleźć na stronach internetowych amerykańskiej instytucji Institute for Health Metrics and Evaluation (http://www.healthdata.org/). Z wyników opracowanych przez nią korzysta np. administracja Stanów Zjednoczonych. Aktualnie (stan na 18.04.2020) prognozują oni, że całkowita liczba osób zmarłych z powodu choroby COVID-19 wyniesie w Polsce 646. Obecnie (stan na 21.04.2020) w naszym kraju zmarło 401 pacjentów w wyniku zakażenia koronawirusem.
Tak naprawdę pełne opracowanie, które być może zaowocuje stworzeniem modelu rozprzestrzeniania się zachorowań związanych z wirusem SARS-coV-2, będzie możliwe dopiero po zakończeniu epidemii, kiedy naukowcy dużo lepiej poznają przebieg choroby i sposób nabywania odporności. Na razie możemy korzystać z dotychczasowych modeli. Czas pokaże, na ile były wiarygodne i wystarczające.
W trakcie pisania tekstu korzystałem z książki R. Rudnickiego, Modele i metody biologii matematycznej, część I: modele deterministyczne.
Część równań matematycznych w artykule została wygenerowane przy użyciu internetowego edytora równań dostępnego na stronie: www.codecogs.com/latex.