W każdym z 50 Tygodni w Mieście Nauki publikujemy tekst o wybranych badaniach prowadzonych w danej tematyce przez naukowców z uczelni wchodzących w skład Konsorcjum Akademickiego – Katowice Miasto Nauki. Teksty dają wgląd w różnorodność zagadnień poruszanych przez naukowców oraz pokazują, jaki potencjał badawczy drzemie w uczelniach tworzących konsorcjum.
| Agnieszka Kliks-Pudlik |
Drugą dziesiątkę 50 tygodni w Mieście Nauki otwiera Tydzień Liczb. Matematyka towarzyszy nam od pierwszych szkolnych lat, ale im bardziej się w nią wgłębiamy, tym wyuczone reguły stają się mniej oczywiste. Jej zaawansowane metody wykorzystuje się m.in. w inżynierii materiałowej, sztuce i sporcie.
– W Tygodniu Liczb nie sposób nie wspomnieć o teorii liczb – jednej z najstarszych dziedzin matematyki, która bada własności niektórych typów liczb. Ma ona duży wpływ na algebrę i vice versa. Ale liczby to nie tylko czysta matematyka, czego dowodzą różnorodne badania naukowców z uczelni tworzących Konsorcjum Akademickie – Katowice Miasto Nauki – podkreśla dr Anna Glenszczyk z Wydziału Nauk Ścisłych i Technicznych Uniwersytetu Śląskiego, która jest kuratorką Tygodnia Liczb.
Fot. Markus Krisetya | Unsplash
Matematyka na poziomie master
Badaniami nad teoriami liczbowymi zajmują się naukowcy z Instytutu Matematyki na Wydziale Nauk Ścisłych i Technicznych Uniwersytetu Śląskiego.
Jednym z problemów badawczych w tym temacie jest reprezentacja liczb w postaci sum kwadratów – zagadnienie, które choć jest rozważane w matematyce od czasów starożytnych, to wciąż nie jest w pełni rozwiązane. Wkład w te badania ma dr hab. Przemysław Koprowski, prof. UŚ, który wskazał efektywne rozwiązanie problemu czterech kwadratów w absolutnie dowolnym ciele liczbowym. Opracowana metoda działa nie tylko w ciałach liczbowych, ale w jeszcze szerszej klasie ciał – w każdym tzw. ciele globalnym.
W szkole uczymy się, że istnieją liczby naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste – gdzie zbiór liczb rzeczywistych pozwala na „zatkanie dziur” w zbiorze liczb wymiernych. Okazuje się jednak, że liczby rzeczywiste nie są jedynym możliwym uzupełnieniem zbioru liczb wymiernych – istnieje ich nieskończenie wiele, a konstrukcja ta jest o wiele bardziej uniwersalna. Ten i wiele pokrewnych problemów wchodzą w zakres teorii waluacji, którym zajmuje się dr Anna Rzepka.
– Każdy uczeń wkuwający tabliczkę mnożenia wie, że 7×5 jest tym samym, co 5×7, czyli że mnożenie jest przemienne. Jednak ta własność nie zawsze zachodzi – nie w każdym systemie algebraicznym (np. mnożenie macierzy nie jest przemienne). Dla przykładu: proces składania funkcji (który można traktować jako pewnego rodzaju mnożenie) nie może być przemienny: to, czy najpierw włożymy skarpety, a potem buty, czy odwrotnie, jest jednak istotną różnicą – podkreśla dr Anna Glenszczyk. Takimi systemami zajmuje się dr Marta Nowakowska.
Istnieją systemy algebraiczne jeszcze dalsze od naszego szkolnego doświadczenia. A co, jeśli działanie dodawania będzie wielowartościowe? Jeśli suma dwóch liczb nie będzie liczbą tylko zbiorem liczb? Takie struktury w algebrze nazywają się hiperciałami i stanowią obiekt badań dr. hab. Pawła Gładkiego, prof. UŚ.
Wyliczenia dla materiałów
Liczby to nie tylko czysta matematyka. Wykorzystuje je też inżynieria materiałowa do opisu właściwości, obliczania charakterystycznych parametrów, tworzenia i symulowania modeli numerycznych nowych i już istniejących materiałów inżynierskich.
Przykładem może być badanie wytrzymałości materiałów na rozciąganie lub zginanie, gdzie podczas prowadzonych procedur laboratoryjnych generowanych jest wiele liczbowych danych pomiarowych, które następnie muszą zostać przeliczone na współczynniki zrozumiałe dla inżynierów materiałowych. Także skład chemiczny materiałów, który istotnie wpływa na ich właściwości, jest opisywany, analizowany i dobierany liczbowymi wzorami chemicznymi. Takimi zagadnieniami zajmują się naukowcy z Instytutu Inżynierii Materiałowej na WNSiT UŚ.
„Autoportret”, autor: Krzysztof Para, technologia: algorytm ewolucyjny oparty na populacji obrazów o genomie złożonym z figur geometrycznych
„Miasto Kruków”, autor: Michał Ryngier, technologia: algorytm ewolucyjny oparty na populacji osobników będących krzywymi Béziera
„Mak”, autor: Michał Ryngier, technologia: algorytm ewolucyjny oparty na populacji osobników będących krzywymi Béziera
„Gwieździsta Noc”, autor: Krzysztof Para, technologia: algorytm ewolucyjny oparty na populacji obrazów o genomie złożonym z figur geometrycznych
Sztuka ewolucyjna
Matematyka z powodzeniem jest również wykorzystywana w sztuce algorytmicznej, która polega na generowaniu sztuki przy użyciu algorytmu zaprojektowanego przez artystę.
– W szerokim sensie można powiedzieć, że sztuka algorytmiczna obejmuje algorytm genetyczny (ewolucyjny), w którym artysta określa zasady rządzące iteracyjną ewolucją obrazów. To popularna metoda do przybliżania obrazów za pomocą prostych kształtów, często tworzących abstrakcyjny styl sztuki – wskazuje prof. Urszula Boryczka z Instytutu Informatyki na WNSiT UŚ.
Przykładem może być sztuka ewolucyjna – gałąź sztuki generatywnej, która jest automatycznie generowana przez obliczenia ewolucyjne.
– Obliczenia ewolucyjne mogą być wykorzystywane do tworzenia różnych dzieł sztuki, w tym dzieł 2D, 3D, muzyki i animacji. Algorytmy typu genotypowo-fenotypowego, takie jak algorytmy genetyczne i wiele algorytmów ewolucji inspirowanych naturą, są szeroko stosowane do tworzenia sztuki ewolucyjnej – dodaje prof. U. Boryczka.
Sport liczbami stoi
Sport to kolejna dziedzina, w której liczby odkrywają istotną rolę. Przykładowo, proces szkolenia sportowego to wielowymiarowy zbiór liczb.
– Jednostka treningowa, mikro- i makrocykl, wraz z ich monitorowaniem oraz diagnostyką, opisane są cyfrowo. Analizy sportowe liczbą stoją, względem wszelkich poddanych obróbce wartości i parametrów. Ile zyskać i stracić można na cyfrowym zapisie wie każdy analityk, ten, kto w sporcie działa i w sport inwestuje – podkreślają naukowcy z Akademii Wychowania Fizycznego w Katowicach: dr Grzegorz Mikrut oraz dr hab. Robert Roczniok, prof. AWF.
Jednym z filarów sportu jest liczba Pi, której święto przypada w trakcie Tygodnia Liczba (14 marca). To na niej opiera się m.in. wzór na piłkę, kulę czy krążek.
Pełny program Tygodnia Liczb na stronie wydarzenia.